Sejam Sigma1=(O1,(e1, e2, e3)) e Sigma2=(O2,(f1, f2, f3)) dois sistemas de coordenadas tais que f1=e1, f2= e1-e3, f3=e1+3 e2-e3 e O2=(1,1,1)Sigma1. Obtenha as coordenadas do ponto
(a) P=(-2,4,7)Sigma1 no sistema de coordenadas Sigma2.
(b) Q=(1,2,1)Sigma2 no sistema de coordenadas Sigma1.

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas de coordenadas em R^3:
Sigma1=(O1,(e1,e2,e3)) e
Sigma2=(O2,(f1,f2,f3)),
com
f1=e1,
f2=e1-e3,
f3=e1+3e2-e3,
e O2=(1,1,1)Sigma1.
Vamos usar mudança de base e translação para passar as coordenadas de um sistema para o outro.

Passo 2

Para (a), o ponto P em Sigma1 é (-2,4,7)Sigma1. Primeiro encontro o vetor de O2 até P em Sigma1:
O2P = O1P - O1O2 =(-2,4,7)-(1,1,1)=(-3,3,6)

Passo 3

Agora escrevo
(-3,3,6) = a,f1 + b,f2 + c,f3 = a,e1 + b(e1-e3) + c(e1+3e2-e3)
Isso gera o sistema
a + b + c = -3,
3c = 3,
-b - c = 6
Da segunda equação c=1. Da terceira b=-7. Então
a = -3 - b - c = -3 -(-7) -1 = 3
Logo
P = (3,-7,1)Sigma2

Passo 4

Para (b), o ponto Q em Sigma2 é (1,2,1)Sigma2. Em Sigma1 vale
O1Q = O1O2 + 1,f1 + 2,f2 + 1,f3

Passo 5

Substituindo O1O2=(1,1,1) e as definições de fi:
1f1+2f2+1f3 =e1 + 2(e1-e3) +(e1+3e2-e3) =4e1+3e2-3e3
Somando o deslocamento da origem,
O1Q = (1,1,1) + (4,3,-3) = (5,4,-2),
logo
Q = (5,4,-2)Sigma1

Resposta

(a) (3,-7,1)Sigma2
(b) (5,4,-2)Sigma1

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