Dada a tabela abaixo
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.6
11.02
13.46
16.44
20.08
24.53
29.96
36.59
44.70
Calcule o valor aproximado de
utilizando interpolação linear (polinômio de grau 1) e dê uma estimativa para o erro cometido.
|
|
2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.6 |
|
|
11.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Passo 1
O enunciado pede dois itens: aproximar
usando interpolação linear (polinômio de grau 1) e fornecer uma estimativa do erro cometido.
Da tabela fornecida eu vou usar explicitamente os pares que aparecem na tabela: peguei os valores para
e
(estes estão na tabela), com
e
.
Não resolvo nada neste passo, apenas deixei claro o que a questão pede e quais dados vamos usar.
Da tabela fornecida eu vou usar explicitamente os pares
Não resolvo nada neste passo, apenas deixei claro o que a questão pede e quais dados vamos usar.
Passo 2
Explicando o método (passo-a-passo e bem didático): interpolação linear entre dois pontos
e
aproxima
por uma reta que passa por esses pontos. A fórmula da interpolação linear é
Aqui:
-
e são os nós (os dois próximos que escolhemos na tabela); -
e são os valores correspondentes (aqui ); - o quociente
é a inclinação (coeficiente angular) da reta; -
é quanto nos afastamos de .
Escolhemose porque está exatamente entre esses dois nós (são os mais próximos na tabela).
Passo 3
Calcular a inclinação (slope) usando os valores da tabela (aqui estou pegando
e
da tabela):
Expliquei cada etapa: subtraí os valores de
e dividi pelo comprimento do intervalo
.
Passo 4
Calcular a aproximação em
aplicando a fórmula da interpolação linear:
Agora a conta:
Portanto a aproximação por interpolação linear é
.
Passo 5
Agora a estimativa do erro (a parte teórica): para interpolação polinomial de grau 1 o resto (erro) em
pode ser escrito, pela fórmula de Lagrange/Taylor do resto, como
para algum
entre
e
. Aqui
, então
. Isso significa que o valor de
está entre
e
. Para obter uma estimativa simples e segura do módulo do erro, podemos usar o maior valor de
no intervalo
(pois isso dá um limite superior para
).
Passo 6
Como
é crescente,
. Vou usar o valor de
que está na tabela (peguei esse número da tabela). Assim um limite superior para o erro absoluto em
é
Calculemos os fatores:
Logo
Portanto uma estimativa (limite superior) para o erro absoluto é
.
Passo 7
Comentário sobre o sinal do erro e verificação rápida: como
é convexa (
), a corda que liga os pontos
e
fica acima do gráfico; isso significa que a interpolação linear (que é exatamente essa corda) superestima
dentro do intervalo. Portanto
tende a ser maior que o valor verdadeiro
. De fato, o valor verdadeiro é
(este número pode ser obtido por uma calculadora ou pelo produto
). A diferença real (erro) é
que está dentro do limite superior calculado
. Isso confirma que a estimativa do erro é coerente e que o sinal do erro é positivo para
(ou negativo se você tomar
).
Resposta
Estimativa do erro absoluto: