Dada a tabela abaixo
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.6
e^{x} 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Calcule o valor aproximado de e^{3.1} utilizando interpolação linear (polinômio de grau 1) e dê uma estimativa para o erro cometido.

Passo 1

O enunciado pede dois itens: aproximar \,e^{3,1}\, usando interpolação linear (polinômio de grau 1) e fornecer uma estimativa do erro cometido.
Da tabela fornecida eu vou usar explicitamente os pares (x,e^{x}) que aparecem na tabela: peguei os valores para \,x=3,0 e \,x=3,2 (estes estão na tabela), com
\,e^{3,0}=20,08\, e \,e^{3,2}=24,53\,.
Não resolvo nada neste passo, apenas deixei claro o que a questão pede e quais dados vamos usar.

Passo 2

Explicando o método (passo-a-passo e bem didático): interpolação linear entre dois pontos (x_0,f(x_0)) e (x_1,f(x_1)) aproxima f(x) por uma reta que passa por esses pontos. A fórmula da interpolação linear é
L_1(x)=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\,(x-x_0).
Aqui:
  • \,x_0 e \,x_1 são os nós (os dois x próximos que escolhemos na tabela);
  • \,f(x_0) e \,f(x_1) são os valores correspondentes (aqui f(x)=e^{x});
  • o quociente \dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} é a inclinação (coeficiente angular) da reta;
  • (x-x_0) é quanto nos afastamos de x_0.
    Escolhemos \,x_0=3,0 e \,x_1=3,2 porque \,3,1 está exatamente entre esses dois nós (são os mais próximos na tabela).

Passo 3

Calcular a inclinação (slope) usando os valores da tabela (aqui estou pegando \,e^{3,0}=20,08\, e \,e^{3,2}=24,53\, da tabela):
\text{slope}=\frac{e^{3,2}-e^{3,0}}{3,2-3,0}=\frac{24,53-20,08}{0,2}=\frac{4,45}{0,2}=22,25.
Expliquei cada etapa: subtraí os valores de e^{x} e dividi pelo comprimento do intervalo \,0,2.

Passo 4

Calcular a aproximação em x=3,1 aplicando a fórmula da interpolação linear:
L_1(3,1)=e^{3,0}+\text{slope}\cdot(3,1-3,0)=20,08+22,25\cdot0,1.
Agora a conta:
22,25\cdot0,1=2,225,
L_1(3,1)=20,08+2,225=22,305.
Portanto a aproximação por interpolação linear é \,e^{3,1}\approx22,305\,.

Passo 5

Agora a estimativa do erro (a parte teórica): para interpolação polinomial de grau 1 o resto (erro) em x pode ser escrito, pela fórmula de Lagrange/Taylor do resto, como
R_1(x)=\frac{f''(\xi)}{2!}(x-x_0)(x-x_1)
para algum \xi entre x_0 e x_1. Aqui f(x)=e^{x}, então f''(x)=e^{x}. Isso significa que o valor de f''(\xi) está entre e^{3,0} e e^{3,2}. Para obter uma estimativa simples e segura do módulo do erro, podemos usar o maior valor de f'' no intervalo [3,0,3,2] (pois isso dá um limite superior para |R_1|).

Passo 6

Como e^{x} é crescente, \max_{[3,0,3,2]} f''(x)=e^{3,2}. Vou usar o valor de e^{3,2}=24,53 que está na tabela (peguei esse número da tabela). Assim um limite superior para o erro absoluto em x=3,1 é
|R_1(3,1)|\le \frac{e^{3,2}}{2}\,| (3,1-3,0)(3,1-3,2) |.
Calculemos os fatores:
(3,1-3,0)=0,1,\qquad (3,1-3,2)=-0,1,\qquad |0,1\cdot(-0,1)|=0,01.
Logo
|R_1(3,1)|\le \frac{24,53}{2}\cdot0,01=12,265\cdot0,01=0,12265.
Portanto uma estimativa (limite superior) para o erro absoluto é \,|R_1(3,1)|\le0,12265\,.

Passo 7

Comentário sobre o sinal do erro e verificação rápida: como e^{x} é convexa ( f''(x)>0), a corda que liga os pontos (3,0) e (3,2) fica acima do gráfico; isso significa que a interpolação linear (que é exatamente essa corda) superestima f dentro do intervalo. Portanto L_1(3,1) tende a ser maior que o valor verdadeiro e^{3,1}. De fato, o valor verdadeiro é
e^{3,1}\approx22,19795
(este número pode ser obtido por uma calculadora ou pelo produto e^{3}\cdot e^{0,1}). A diferença real (erro) é
L_1(3,1)-e^{3,1}\approx22,305-22,19795=0,10705,
que está dentro do limite superior calculado 0,12265. Isso confirma que a estimativa do erro é coerente e que o sinal do erro é positivo para L_1-e^{3,1} (ou negativo se você tomar e^{3,1}-L_1).

Resposta

e^{3,1}\approx22,305\n
Estimativa do erro absoluto: |\text{erro}|\le0,12265 (erro real aproximado =0,10705).

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