\mathbf{9}^{\mathrm{a}} QUESTÃO: (VALOR \left.=1,6\right) Seja as funções:
f(x)=x-4 \quad g(x)=-2 x+8 \quad h(x)=x \sqrt{3} \quad m(x)=-2-x
Determine:
Qual ou quais são decrescentes

Passo 1

O enunciado dá quatro funções:
f(x)=x-4,\qquad g(x)=-2x+8,\qquad h(x)=x\sqrt{3},\qquad m(x)=-2-x
e pergunta: “Qual ou quais são decrescentes?” Ou seja, entre essas quatro, quais são estritamente decrescentes em \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos lembrar com calma o que significa “função decrescente” (estritamente decrescente). Uma função F é estritamente decrescente em \mathbb{R} se, para quaisquer x_1,x_2\in\mathbb{R} tais que x_1<x_2, valer a desigualdade
F(x_1)>F(x_2).
Em palavras: quando aumentamos x, o valor da função diminui.

Passo 3

Agora uma propriedade muito útil (e fácil de usar em prova): funções lineares da forma
L(x)=ax+b
são monotônicas conforme o sinal de a:
  • Se a>0 então L é estritamente crescente.
  • Se a<0 então L é estritamente decrescente.
  • Se a=0 então L é constante (nem crescente nem decrescente estritamente).
Prova curta dessa propriedade (útil para decorar): tome x_1<x_2. Então
L(x_1)-L(x_2)=a x_1+b-(a x_2+b)=a(x_1-x_2).
Como x_1-x_2<0, o sinal do produto a(x_1-x_2) é o oposto do sinal de a. Assim, se a<0 temos L(x_1)-L(x_2)>0, ou seja L(x_1)>L(x_2) — decrescente. Se a>0 dá o contrário — crescente.
Observação: essa demonstração dispensa derivada e é totalmente elementar — ótima para prova sem calculadora.

Passo 4

Todas as funções do enunciado são lineares da forma ax+b. Identificamos o coeficiente angular a (a “inclinação”, que determina a monotonicidade) em cada uma:
  • Para f(x)=x-4 temos a=1. Como 1>0, f é crescente.
  • Para g(x)=-2x+8 temos a=-2. Como -2<0, g é decrescente.
  • Para h(x)=x\sqrt{3} podemos ver h(x)=(\sqrt{3})x+0, então a=\sqrt{3}. Como \sqrt{3}>0 (aprox. 1,732), h é crescente.
  • Para m(x)=-2-x reescrevemos como m(x)=(-1)x-2, logo a=-1. Como -1<0, m é decrescente.
Expliquei cada identificação do coeficiente a e usei a regra do passo anterior para decidir crescente/decrescente.

Passo 5

Concluímos que as funções com coeficiente angular negativo são decrescentes. No nosso caso são g e m.

Resposta

g(x)=-2x+8
m(x)=-2-x

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