QUESTÃO: (VALOR
Seja as funções:
Determine:
Qual ou quais são decrescentes
Qual ou quais são decrescentes
Passo 1
O enunciado dá quatro funções:
e pergunta: “Qual ou quais são decrescentes?” Ou seja, entre essas quatro, quais são estritamente decrescentes em
.
Passo 2
Vamos lembrar com calma o que significa “função decrescente” (estritamente decrescente). Uma função
é estritamente decrescente em
se, para quaisquer
tais que
, valer a desigualdade
Em palavras: quando aumentamos
, o valor da função diminui.
Passo 3
Agora uma propriedade muito útil (e fácil de usar em prova): funções lineares da forma
são monotônicas conforme o sinal de
:
- Se
então é estritamente crescente. - Se
então é estritamente decrescente. - Se
então é constante (nem crescente nem decrescente estritamente).
Prova curta dessa propriedade (útil para decorar): tome
. Então
Como
, o sinal do produto
é o oposto do sinal de
. Assim, se
temos
, ou seja
— decrescente. Se
dá o contrário — crescente.
Observação: essa demonstração dispensa derivada e é totalmente elementar — ótima para prova sem calculadora.
Passo 4
Todas as funções do enunciado são lineares da forma
. Identificamos o coeficiente angular
(a “inclinação”, que determina a monotonicidade) em cada uma:
- Para
temos . Como , é crescente. - Para
temos . Como , é decrescente. - Para
podemos ver , então . Como (aprox. ), é crescente. - Para
reescrevemos como , logo . Como , é decrescente.
Expliquei cada identificação do coeficiente
e usei a regra do passo anterior para decidir crescente/decrescente.
Passo 5
Concluímos que as funções com coeficiente angular negativo são decrescentes. No nosso caso são
e
.