O interior de um reservatório sem cobertura cujo fundo tem a forma de um quadrado que deve ser recoberto com um metal. A capacidade do reservatório é 32 I. Quais devem ser as dimensões do reservatório para que a quantidade de metal seja mínina
Resposta: Lado da base 0,4 m e altura reservatório 0,2 m

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de um reservatório sem cobertura (base quadrada) que têm capacidade de 32 litros, de modo que a quantidade de metal usado para recobrir o fundo e as quatro paredes seja mínima. Informações dadas e definições iniciais:
  • A base é quadrada de lado x (em metros).
  • A altura do reservatório é y (em metros).
  • O reservatório é aberto em cima: o metal cobre a base e as quatro faces laterais, não cobre o topo.
  • A capacidade (volume) é 32 litros. Vou usar essa informação para relacionar x e y.
  • Objetivo: minimizar a área de metal necessária, que depende de x e y.

Passo 2

Converter a capacidade em unidades do SI e escrever a equação do volume.
Lembrando que 1 litro =0,001 metro cúbico, temos
32\\ \text{L} = 32\cdot 0,001\\ \text{m}^3 = 0,032\\ \text{m}^3.
O volume de um paralelepípedo de base quadrada é
x^2 y.
Portanto a condição de volume dá a equação de restrição
x^2 y = 0,032.

Passo 3

Escrever a área de metal a ser minimizada e eliminar uma variável usando a restrição.
A área do metal é a área da base mais a área das quatro faces laterais:
S = \text{(base)} + \text{(4 paredes)} = x^2 + 4xy.
Usando a restrição para escrever y em função de x:
y = \frac{0,032}{x^2}.
Substituindo em S:
S(x)=x^2 + 4x\cdot\frac{0,032}{x^2} = x^2 + \frac{0,128}{x}.
Aqui simplifiquei 4\cdot 0,032 = 0,128. Agora reduzimos o problema a minimizar a função de uma variável S(x) para x>0.

Passo 4

Encontrar o ponto crítico de S(x) usando derivada. (Mini-aula rápida: uma forma padrão de achar mínimo de uma função diferenciável é calcular S'(x), resolver S'(x)=0 para obter pontos críticos, e então verificar se correspondem a mínimo usando a segunda derivada ou raciocínio sobre o sinal.)
Calculemos a derivada de
S(x)=x^2+0,128\,x^{-1}.
Derivando termo a termo:
S'(x)=2x - 0,128\,x^{-2}.
Agora achamos x tal que S'(x)=0:
2x - 0,128\,x^{-2}=0.
Multiplicando ambos os lados por x^2 (válido porque x>0):
2x^3 - 0,128 = 0.
Assim
2x^3 = 0,128 \quad\Rightarrow\quad x^3 = \frac{0,128}{2} = 0,064.
Tomando raiz cúbica:
x = \sqrt[3]{0,064} = 0,4,
pois 0,4^3 = 0,064.

Passo 5

Verificar que o ponto crítico encontrado é mínimo.
Calcule a segunda derivada de S:
S''(x)=2 + 0,256\,x^{-3}.
Para x>0 a segunda parcela é positiva, logo S''(x)>0 para todo x>0. Em particular, em x=0,4 temos S''(0,4)>0, o que garante que S tem um mínimo local (na verdade global no domínio x>0). Portanto x=0,4\\ \text{m} dá o mínimo de área.

Passo 6

Calcular a altura y correspondente usando a restrição de volume:
y=\frac{0,032}{x^2}=\frac{0,032}{(0,4)^2}=\frac{0,032}{0,16}=0,2.
Portanto a altura óptima é y=0,2\\ \text{m}.

Passo 7

(Faça uma checagem rápida do resultado) Podemos calcular a área mínima de metal para confirmar consistência:
S_{\min}=x^2+4xy=0,4^2+4\cdot 0,4\cdot 0,2=0,16+0,32=0,48\\ \text{m}^2,
que é um valor positivo e coerente. Tudo consistente.

Resposta

Lado da base \,0,4\\ \text{m}\,
Altura do reservatório \,0,2\\ \text{m}

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