O interior de um reservatório sem cobertura cujo fundo tem a forma de um quadrado que deve ser recoberto com um metal. A capacidade do reservatório é 32 I. Quais devem ser as dimensões do reservatório para que a quantidade de metal seja mínina
Resposta: Lado da base
e altura reservatório
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de um reservatório sem cobertura (base quadrada) que têm capacidade de
litros, de modo que a quantidade de metal usado para recobrir o fundo e as quatro paredes seja mínima. Informações dadas e definições iniciais:
- A base é quadrada de lado
(em metros). - A altura do reservatório é
(em metros). - O reservatório é aberto em cima: o metal cobre a base e as quatro faces laterais, não cobre o topo.
- A capacidade (volume) é
litros. Vou usar essa informação para relacionar e . - Objetivo: minimizar a área de metal necessária, que depende de
e .
Passo 2
Converter a capacidade em unidades do SI e escrever a equação do volume.
Lembrando que litro
metro cúbico, temos
Lembrando que
O volume de um paralelepípedo de base quadrada é
Portanto a condição de volume dá a equação de restrição
Passo 3
Escrever a área de metal a ser minimizada e eliminar uma variável usando a restrição.
A área do metal é a área da base mais a área das quatro faces laterais:
A área do metal é a área da base mais a área das quatro faces laterais:
Usando a restrição para escrever
em função de
:
Substituindo em
:
Aqui simplifiquei
. Agora reduzimos o problema a minimizar a função de uma variável
para
.
Passo 4
Encontrar o ponto crítico de
usando derivada. (Mini-aula rápida: uma forma padrão de achar mínimo de uma função diferenciável é calcular
, resolver
para obter pontos críticos, e então verificar se correspondem a mínimo usando a segunda derivada ou raciocínio sobre o sinal.)
Calculemos a derivada de
Calculemos a derivada de
Derivando termo a termo:
Agora achamos
tal que
:
Multiplicando ambos os lados por
(válido porque
):
Assim
Tomando raiz cúbica:
pois
.
Passo 5
Verificar que o ponto crítico encontrado é mínimo.
Calcule a segunda derivada de :
Calcule a segunda derivada de
Para
a segunda parcela é positiva, logo
para todo
. Em particular, em
temos
, o que garante que
tem um mínimo local (na verdade global no domínio
). Portanto
dá o mínimo de área.
Passo 6
Calcular a altura
correspondente usando a restrição de volume:
Portanto a altura óptima é
.
Passo 7
(Faça uma checagem rápida do resultado) Podemos calcular a área mínima de metal para confirmar consistência:
que é um valor positivo e coerente. Tudo consistente.
Resposta
Lado da base
Altura do reservatório
Altura do reservatório