Dada a tabela abaixo sobre a produção de ton/ha de café da região do sul de Minas, safra 2008/2009:
Intervalo de classe f_{i} a c
300 \vdash 350 12
350 \vdash 400 45
400 \vdash 450 93
450 \vdash 500 154
500 \vdash 550 209
550 \vdash 600 244
600 \vdash 650 274
650 \vdash 700 305
700 \vdash 750 330
750 \vdash 800 336
Total -
Obs: f_{i} a c= frequência absoluta acumulada.
a) obtenha as frequências observadas;
b) trace o histograma;
c) calcule as medidas de posição: média, mediana e moda;
d) Calcule as medidas de dispersão;
e) Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, P_{3}, P_{7}, D_{6}.

Passo 1

O enunciado fornece as classes de produção (em ton/ha) de café de amplitude \,50 no intervalo de [300,800] e as frequências absolutas acumuladas (f_{ac}). Vamos:
  1. Obter a frequência absoluta de cada classe (f_i).
  2. Traçar o histograma (barras contíguas com largura proporcional a 50 e altura f_i).
  3. Calcular as medidas de posição (média, mediana e moda) via dados agrupados e interpolação.
  4. Calcular medidas de dispersão (variância, desvio-padrão, amplitude e coeficiente de variação).
  5. Determinar Q_1,Q_2,Q_3, os percentis P_3,P_7 e o decil D_6 por interpolação linear.

Passo 2

A partir de cada f_{ac}, obtemos
f_i = f_{ac,i} - f_{ac,i-1},\quad f_{ac,0}=0,
como na tabela abaixo:
\begin{array}{c|c|c} \text{Classe} & f_{ac} & f_i \\hline 300\!-\!350 & 12 & 12\\\\ 350\!-\!400 & 45 & 45-12=33\\\\ 400\!-\!450 & 93 & 93-45=48\\\\ 450\!-\!500 & 154 & 154-93=61\\\\ 500\!-\!550 & 209 & 209-154=55\\\\ 550\!-\!600 & 244 & 244-209=35\\\\ 600\!-\!650 & 274 & 274-244=30\\\\ 650\!-\!700 & 305 & 305-274=31\\\\ 700\!-\!750 & 330 & 330-305=25\\\\ 750\!-\!800 & 336 & 336-330=6 \end{array}
Total \displaystyle N=\sum_{i=1}^{10}f_i=336.

Passo 3

Para o histograma, em cada intervalo de classe (largura h=50) plotamos uma barra contígua cuja altura é f_i. Assim, no eixo x ficam os intervalos [300,350),[350,400),\dots, e no eixo y a frequência f_i.

Passo 4

Cálculo da média por dados agrupados. Primeiro os pontos médios
m_i = \frac{\text{limite inferior} + \text{limite superior}}{2},
que são 325,375,425,475,525,575,625,675,725,775. Então
\bar x = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{10} f_i\,m_i = \frac{177100}{336} \approx 527{,}08.

Passo 5

Cálculo da mediana por interpolação. Seja N/2=168. A classe que contém a mediana é aquela cujo f_{ac} passa de 154 para 209, ou seja [500,550). Aplicando
\text{Mediana} = L + \frac{\tfrac{N}{2}-F_{ac,\mathrm{ant}}}{f_i}\;h
com L=500, F_{ac,\mathrm{ant}}=154, f_i=55 e h=50, vem
\text{Mediana}\approx 500 + \frac{168-154}{55}\times50 \approx 512{,}73.

Passo 6

Cálculo da moda por interpolação na classe modal (maior f_i=61, classe [450,500)). Seja f_m=61, f_{m-1}=48, f_{m+1}=55, L=450, h=50. Então
\text{Moda} = L + \frac{f_m - f_{m-1}}{2f_m - f_{m-1} - f_{m+1}}\;h = 450 + \frac{61-48}{2\cdot61 -48 -55}\times50 \approx 484{,}21.

Passo 7

Medidas de dispersão:
\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{10} f_i\,m_i^2 - \bar x^{2} \approx \frac{97660000}{336} - (527{,}08)^2 \approx 12761{,}73,
\sigma\approx \sqrt{12761{,}73}\approx 112{,}99,
Amplitude total \displaystyle R=800-300=500,
Coeficiente de variação \displaystyle CV=\frac{\sigma}{\bar x}\times100\%\approx21{,}44\%.

Passo 8

Cálculo de quantis por interpolação L + \tfrac{K - F_{ac,\mathrm{ant}}}{f_i}h.
ewline Q1 em K=N/4=84 cai na classe [400,450):
Q_1\approx 400 + \frac{84-45}{48}\times50 \approx 440{,}63.
Q_2=\text{Mediana}\approx 512{,}73.
Q3 em K=3N/4=252 cai na classe [600,650):
Q_3\approx 600 + \frac{252-244}{30}\times50 \approx 613{,}33.
Percentil P_3 em K=0,03N=10{,}08 na classe [300,350):
P_3\approx 300 + \frac{10{,}08-0}{12}\times50 \approx 342{,}00.
Percentil P_7 em K=0,07N=23{,}52 na classe [350,400):
P_7\approx 350 + \frac{23{,}52-12}{33}\times50 \approx 367{,}45.
Decil D_6 em K=0,6N=201{,}6 na classe [500,550):
D_6\approx 500 + \frac{201{,}6-154}{55}\times50 \approx 543{,}27.

Resposta

a) Frequências absolutas:
300–350: 12; 350–400: 33; 400–450: 48; 450–500: 61; 500–550: 55; 550–600: 35; 600–650: 30; 650–700: 31; 700–750: 25; 750–800: 6.
b) Histograma: barras contíguas em cada classe de largura 50 com alturas acima.
c) Média \bar x\approx527,08, Mediana \approx512,73, Moda \approx484,21.
d) Variância \sigma^2\approx12761,73, Desvio-padrão \sigma\approx112,99, Amplitude =500, CV\approx21,44\%.
e) Q_1\approx440,63, Q_2\approx512,73, Q_3\approx613,33; P_3\approx342,00, P_7\approx367,45; D_6\approx543,27.

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