DADA À TABELA A SEGUIR, QUE REPRESENTA AS ESTATURAS DE 40 CRIANÇAS …
Dada à tabela a seguir, que representa as estaturas de 40 crianças, calcule o valor da mediana:
Estaturas (\mathrm{cm}) fi
50 \vdash 54 4
54 \vdash 58 9
58 \vdash 62 11
62 \vdash 66 8
66 \vdash 70 5
70 \vdash 74 3
Total \sum \mathrm{fi}=40
\bigcirc 62,75
\bigcirc 61,34
\bigcirc 60,21
\bigcirc 59,87
\bigcirc 60,55

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor da mediana das estaturas das 40 crianças, usando a tabela fornecida.
Peguei os dados diretamente da tabela:
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Estaturas (cm)} & f_i \\\ \hline 50 \vdash 54 & 4 \\\ \hline 54 \vdash 58 & 9 \\\ \hline 58 \vdash 62 & 11 \\\ \hline 62 \vdash 66 & 8 \\\ \hline 66 \vdash 70 & 5 \\\ \hline 70 \vdash 74 & 3 \\\ \hline \text{Total} & \sum f_i = 40 \\\ \hline \end{array}
Pergunta que vou responder: qual é a mediana (valor numérico) das estaturas desse conjunto de dados agrupados?

Passo 2

O que é mediana para dados agrupados e qual fórmula vamos usar.
A mediana é o valor que divide a população ao meio: metade dos indivíduos tem estatura menor ou igual e metade tem estatura maior ou igual. Para dados agrupados em classes usamos a fórmula da mediana interpolada na classe que contém o elemento de ordem N/2:
\text{Mediana} = L + \frac{\frac{N}{2} - F_c}{f_m}\cdot h
onde:
  • N é o total de observações (aqui N=40);
  • L é o limite inferior da classe mediana (o início da classe que contém a mediana);
  • F_c é a frequência acumulada das classes anteriores à classe mediana (soma das frequências das classes que vêm antes);
  • f_m é a frequência da classe mediana (frequência da própria classe que contém a mediana);
  • h é a amplitude (largura) da classe (todas as classes têm a mesma largura aqui).
Vou explicar cada um desses termos enquanto calculo.

Passo 3

Calcular N/2 e as frequências acumuladas para encontrar a classe mediana.
N = 40 \quad\Rightarrow\quad \frac{N}{2} = 20.
Agora calculo as frequências acumuladas F a partir da tabela (estou usando os f_i que peguei da tabela):
  • Depois da primeira classe 50\vdash54: F_1 = 4.
  • Depois da segunda classe 54\vdash58: F_2 = 4 + 9 = 13.
  • Depois da terceira classe 58\vdash62: F_3 = 13 + 11 = 24.
  • (As classes seguintes têm F_4 = 24+8=32, F_5=37, F_6=40, mas não precisamos delas para localizar a mediana.)
Como \frac{N}{2}=20 e F_2=13<20\le F_3=24, a mediana está na terceira classe \,58\vdash62.

Passo 4

Identificar as quantidades da fórmula para a classe mediana \,58\vdash62.
  • L (limite inferior da classe mediana): peguei da tabela que a classe começa em 58, então tomo L=58. (Observação: alguns textos usam limites contínuos como 57{,}5, mas aqui usando o limite exibido 58 e a amplitude h=4 é o procedimento direto e corresponde às alternativas dadas.)
  • F_c (frequência acumulada antes da classe mediana): F_c = F_2 = 13 (soma das frequências das duas primeiras classes; peguei este valor do cálculo do passo anterior).
  • f_m (frequência da classe mediana): peguei da tabela, f_m = 11 para a classe 58\vdash62.
  • h (amplitude da classe): cada classe vai de 50 a 54, 54 a 58, etc., logo h = 4.
Recapitulando em notação matemática:
L=58,\quad F_c=13,\quad f_m=11,\quad h=4,\quad \frac{N}{2}=20.

Passo 5

Aplicar a fórmula da mediana substituindo os valores:
\text{Mediana} = 58 + \frac{20 - 13}{11}\cdot 4.
Calculo passo a passo:
20 - 13 = 7.
\frac{7}{11} \approx 0{,}63636\ldots
\frac{7}{11}\cdot 4 = \frac{28}{11} \approx 2{,}54545\ldots
58 + \frac{28}{11} = 58 + 2{,}54545\ldots = 60{,}54545\ldots

Passo 6

Arredondar para o formato das alternativas (duas casas decimais).
\text{Mediana} \approx 60{,}55.
Verificação rápida: esta resposta está entre os limites da classe 58\vdash62 e faz sentido porque a metade dos 40 valores (o 20º) cai dentro dessa classe.

Resposta

60,55

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