QUANTOS ANAGRAMAS EXISTEM NA SENHA @3@L7T7K@ ?..
Quantos anagramas existem na senha
@3@L7T7K@
?
30240
10080
540
60480
720
@3@L7T7K@
?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos anagramas existem na senha
?”
Informações dadas e organizadas: a senha é . Contando os símbolos temos
caracteres no total. As repetições são: o símbolo
aparece
vezes, o dígito
aparece
vezes, e os demais símbolos
,
,
,
aparecem
vez cada. Essas são todas as informações relevantes do enunciado.
Informações dadas e organizadas: a senha é
Passo 2
Conceito chave (explicado devagar): quando queremos contar anagramas de uma sequência de
símbolos em que alguns símbolos se repetem, estamos contando permutações de um multiconjunto. Se todos os
símbolos fossem distintos, o número de anagramas seria simplesmente
(fatorial de
), que é o produto
.
Mas quando há repetições, permutações que só trocam entre si símbolos idênticos não são distintas; por isso dividimos por , onde
são as multiplicidades de cada símbolo repetido. A fórmula geral é:
Mas quando há repetições, permutações que só trocam entre si símbolos idênticos não são distintas; por isso dividimos por
Exemplo pequeno e concreto para fixar: para as letras de “AAB” temos
, com
repetido
vezes, então anagramas =
. Se listarmos: AAB, ABA, BAA — três.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
, com multiplicidades
e
. Logo
Calculemos passo a passo. Primeiro o fatorial:
E
Então
Passo 4
Dividindo em duas etapas fica mais simples:
e
. Portanto o número de anagramas distintos da senha
é
.