QUANTOS ANAGRAMAS EXISTEM NA SENHA @3@L7T7K@ ?..
Quantos anagramas existem na senha
@3@L7T7K@
?
\bigcirc 30240
\bigcirc 10080
\bigcirc 540
\bigcirc 60480
\bigcirc 720

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos anagramas existem na senha @3@L7T7K@?”
Informações dadas e organizadas: a senha é @3@L7T7K@. Contando os símbolos temos n=9 caracteres no total. As repetições são: o símbolo @ aparece 3 vezes, o dígito 7 aparece 2 vezes, e os demais símbolos 3, L, T, K aparecem 1 vez cada. Essas são todas as informações relevantes do enunciado.

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar): quando queremos contar anagramas de uma sequência de n símbolos em que alguns símbolos se repetem, estamos contando permutações de um multiconjunto. Se todos os n símbolos fossem distintos, o número de anagramas seria simplesmente n! (fatorial de n), que é o produto n(n-1)(n-2)\cdots1.
Mas quando há repetições, permutações que só trocam entre si símbolos idênticos não são distintas; por isso dividimos por n_1!n_2!\cdots, onde n_1,n_2,\dots são as multiplicidades de cada símbolo repetido. A fórmula geral é:
\text{nº de anagramas} = \frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!}.º
Exemplo pequeno e concreto para fixar: para as letras de “AAB” temos n=3, com A repetido 2 vezes, então anagramas = \dfrac{3!}{2!}=3. Se listarmos: AAB, ABA, BAA — três.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: n=9, com multiplicidades n_{@}=3 e n_{7}=2. Logo
\text{nº de anagramas}=\frac{9!}{3!\,2!}.º
Calculemos passo a passo. Primeiro o fatorial:
9! = 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 362880.
E
3! = 6,\qquad 2! = 2.
Então
\frac{9!}{3!\,2!}=\frac{362880}{6\cdot2}=\frac{362880}{12}.

Passo 4

Dividindo em duas etapas fica mais simples: 362880\div6=60480 e 60480\div2=30240. Portanto o número de anagramas distintos da senha @3@L7T7K@ é \,30240.

Resposta

30240

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