Determine o valor de \alpha sabendo que y(x) é um polinômio do terceiro grau.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o valor de \alpha sabendo que y(x) é um polinômio do terceiro grau e que passa pelos pontos dados na tabela. Os pontos fornecidos são:
Informações relevantes: há cinco pontos, mas um polinômio do terceiro grau tem quatro coeficientes desconhecidos. Logo precisamos usar quatro pontos para determinar o polinômio; o quinto ponto será usado para obter \alpha (ou para impor uma condição de consistência).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): um polinômio do terceiro grau tem a forma
y(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
onde a,b,c,d são os coeficientes desconhecidos. Como há quatro coeficientes, quatro pontos com abscissas distintas determinam o polinômio de forma única. Vou usar os quatro pontos (-1,-1),(0,1),(1,-1),(2,-1) para encontrar a,b,c,d. Depois avalio esse polinômio em x=3 para obter \alpha. Esse procedimento é equivalente a montar um sistema linear e resolvê-lo; aqui faremos isso de forma direta e elementar.
Passo 3
Começo escrevendo o polinômio e usando o ponto (0,1). Substituindo x=0 em
y(x)=ax^3+bx^2+cx+d
obtemos
y(0)=d=1.
Portanto já sei que d=1. Isso é útil porque elimina uma incógnita imediatamente.
Passo 4
Agora uso os pontos (-1,-1),(1,-1),(2,-1). Substituindo em y(x)=ax^3+bx^2+cx+d e lembrando que d=1, obtenho três equações para a,b,c:
Para x=-1, y=-1:
- a + b - c + d = -1 \quad\Longrightarrow\quad -a+b-c+1=-1 \quad\Longrightarrow\quad -a+b-c=-2.
Para x=1, y=-1:
a + b + c + d = -1 \quad\Longrightarrow\quad a+b+c+1=-1 \quad\Longrightarrow\quad a+b+c=-2.
Com a=1 segue c=-a=-1. Assim temos os coeficientes
a=1,\quad b=-2,\quad c=-1,\quad d=1.
Passo 6
Agora escrevo explicitamente o polinômio encontrado (para ficar gravado na cabeça):
y(x)=x^3-2x^2-x+1.
Um comentário intuitivo: cada passo foi apenas substituir pontos na forma geral e resolver o sistema linear que aparece; a ordem que escolhemos (usar x=0 primeiro) foi só para simplificar e obter d rapidamente.
Passo 7
Finalmente avalio o polinômio em x=3 para obter \alpha: