1. Dada tabela dos valores:
x -1 0 1 2 3
y -1 1 -1 -1 \alpha
Determine o valor de \alpha sabendo que y(x) é um polinômio do terceiro grau.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o valor de \alpha sabendo que y(x) é um polinômio do terceiro grau e que passa pelos pontos dados na tabela. Os pontos fornecidos são:
(-1,-1),\quad (0,1),\quad (1,-1),\quad (2,-1),\quad (3,\alpha).
Informações relevantes: há cinco pontos, mas um polinômio do terceiro grau tem quatro coeficientes desconhecidos. Logo precisamos usar quatro pontos para determinar o polinômio; o quinto ponto será usado para obter \alpha (ou para impor uma condição de consistência).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): um polinômio do terceiro grau tem a forma
y(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
onde a,b,c,d são os coeficientes desconhecidos. Como há quatro coeficientes, quatro pontos com abscissas distintas determinam o polinômio de forma única. Vou usar os quatro pontos (-1,-1),(0,1),(1,-1),(2,-1) para encontrar a,b,c,d. Depois avalio esse polinômio em x=3 para obter \alpha. Esse procedimento é equivalente a montar um sistema linear e resolvê-lo; aqui faremos isso de forma direta e elementar.

Passo 3

Começo escrevendo o polinômio e usando o ponto (0,1). Substituindo x=0 em
y(x)=ax^3+bx^2+cx+d
obtemos
y(0)=d=1.
Portanto já sei que d=1. Isso é útil porque elimina uma incógnita imediatamente.

Passo 4

Agora uso os pontos (-1,-1),(1,-1),(2,-1). Substituindo em y(x)=ax^3+bx^2+cx+d e lembrando que d=1, obtenho três equações para a,b,c:
Para x=-1, y=-1:
- a + b - c + d = -1 \quad\Longrightarrow\quad -a+b-c+1=-1 \quad\Longrightarrow\quad -a+b-c=-2.
Para x=1, y=-1:
a + b + c + d = -1 \quad\Longrightarrow\quad a+b+c+1=-1 \quad\Longrightarrow\quad a+b+c=-2.
Para x=2, y=-1:
8a + 4b + 2c + d = -1 \quad\Longrightarrow\quad 8a+4b+2c+1=-1 \quad\Longrightarrow\quad 8a+4b+2c=-2.
Resumindo o sistema (para a,b,c):
\begin{cases} - a + b - c = -2,\\[4pt] \; a + b + c = -2,\\[4pt] 8a + 4b + 2c = -2. \end{cases}]

Passo 5

Agora resolvo o sistema passo a passo (explicando cada operação). Primeiro somo a primeira e a segunda equação: isso elimina a e c:
(-a+b-c) + (a+b+c) = -2 + (-2) \quad\Longrightarrow\quad 2b = -4 \quad\Longrightarrow\quad b=-2.
Com b=-2, uso a segunda equação a+b+c=-2:
a + (-2) + c = -2 \quad\Longrightarrow\quad a + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = -a.
Agora uso a terceira equação 8a+4b+2c=-2 substituindo b=-2 e c=-a:
8a + 4(-2) + 2(-a) = -2 \quad\Longrightarrow\quad 8a -8 -2a = -2.
Simplifico:
6a -8 = -2 \quad\Longrightarrow\quad 6a = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = 1.
Com a=1 segue c=-a=-1. Assim temos os coeficientes
a=1,\quad b=-2,\quad c=-1,\quad d=1.

Passo 6

Agora escrevo explicitamente o polinômio encontrado (para ficar gravado na cabeça):
y(x)=x^3-2x^2-x+1.
Um comentário intuitivo: cada passo foi apenas substituir pontos na forma geral e resolver o sistema linear que aparece; a ordem que escolhemos (usar x=0 primeiro) foi só para simplificar e obter d rapidamente.

Passo 7

Finalmente avalio o polinômio em x=3 para obter \alpha:
y(3)=3^3 - 2\cdot 3^2 - 3 + 1 = 27 - 18 - 3 + 1.
Faço as contas em ordem:
27-18=9,\quad 9-3=6,\quad 6+1=7.
Logo \alpha=7.

Resposta

7

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