• Questão 03-4,0 : Considere a Equação Diferencial Parcial (EDP) que pode ser utilizada para representar a transferência de calor (\mathrm{u}(\mathrm{x}, \mathrm{t})) com adição de um efeito advectivo em uma barra unidimensional de comprimento L com caraterísticas físicas que podem ser desprezadas de forma a simplificar a solução do problema. Esta situação pode ser modelada pela EDP dada abaixo, durante um tempo total de simulação T , onde a velocidade de advecção e o coeficiente de difusividade são representados por c e \nu, respectivamente:
\frac{\partial u(x, t)}{\partial t}=-c \frac{\partial u(x, t)}{\partial x}+\nu \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}
  • Com condição de contorno de:
  • Com condição inicial:
    u(x, 0)=500 K, 0 \leqslant x \leqslant L
  • \Delta x=0.25 \mathrm{~m}
  • \Delta t=0.125 \mathrm{~m}
  • \nu=0.2 \frac{m^{2}}{s}
\begin{aligned} & u(0, t)=270 K, 0<t \leqslant T \\\ & u(L, t)=270 K, 0<t \leqslant T \end{aligned}
  • \mathrm{T}=0.25 \mathrm{~s}
  • \mathrm{L}=1 \mathrm{~m}
  • \mathrm{c}=1.5 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}

Resolva:

a) Discretize a equação geral avançada no tempo e atrasada no espaço utilizando método implícito: [Valor - 2,0 ]
b) Solucione a equação geral para os índice i=1,2 e 3; [Valor - 1,0]
c) Apresente a matrix \mathrm{Ax}=\mathrm{b}. [Valor - 1,0]

Passo 1

O enunciado pede que a EDP
\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = -c\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} + \nu\,\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}
seja discretizada usando diferença avançada no tempo (diferença no tempo que envolve u^{n+1}) e diferença atrasada no espaço (diferença para a derivada espacial primeira usando u_i e u_{i-1}), num método implícito (os termos espaciais serão avaliados no tempo n+1). Os dados fornecidos que vamos usar explicitamente são:
\Delta x = 0{,}25\\ \mathrm{m},\quad \Delta t = 0{,}125\\ \mathrm{s},\quad \nu = 0{,}2\\ \mathrm{m^2/s},\quad c = 1{,}5\\ \mathrm{m/s},
L=1\\ \mathrm{m}\quad(\Rightarrow\\ x = 0,0{,}25,0{,}5,0{,}75,1\\ \text{m, índices } i=0,\dots,4),í
condição inicial
u(x,0)=500\\ \mathrm{K}\quad\text{para }0\le x\le L,
e condições de contorno
u(0,t)=270\\ \mathrm{K},\qquad u(L,t)=270\\ \mathrm{K}.
As perguntas são:
a) Discretizar a equação conforme pedido (método implícito, avançada no tempo, atrasada no espaço).
b) Escrever/simplificar a equação discretizada para os índices i=1,2,3.
c) Apresentar a matriz do sistema \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} para os nós interiores ( i=1,2,3), usando os valores numéricos fornecidos.

Passo 2

Vamos construir a discretização passo a passo. Primeiro definimos a notação que usaremos (super importante para quem vai fazer à mão na prova):
  • u_i^{n} = aproximação de u(x_i,t^n) com x_i = i\Delta x e t^n = n\Delta t.
  • A derivada temporal será aproximada por diferença no tempo entre n+1 e n:
\frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{(x_i,t^{n+1})}\approx \frac{u_i^{\,n+1}-u_i^{\,n}}{\Delta t}.
Isto é uma diferença “avançada no tempo” no sentido de usar a diferença u^{n+1}-u^n; para tornar implícito, avaliaremos o lado direito em n+1.
  • A derivada espacial primeira será aproximada por diferença atrasada (backward difference) avaliada no tempo n+1:
\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{(x_i,t^{n+1})}\approx \frac{u_i^{\,n+1}-u_{i-1}^{\,n+1}}{\Delta x}.
  • A derivada espacial segunda (laplaciano 1D) será aproximada pela diferença central, também no tempo n+1:
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\Big|_{(x_i,t^{n+1})}\approx \frac{u_{i+1}^{\,n+1}-2u_i^{\,n+1}+u_{i-1}^{\,n+1}}{\Delta x^2}.
Agora substituímos essas aproximações na EDP (avaliando os termos espaciais em n+1, pois o método é implícito):
\frac{u_i^{\,n+1}-u_i^{\,n}}{\Delta t} = -c\;\frac{u_i^{\,n+1}-u_{i-1}^{\,n+1}}{\Delta x} + \nu\;\frac{u_{i+1}^{\,n+1}-2u_i^{\,n+1}+u_{i-1}^{\,n+1}}{\Delta x^2}.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para colocar todos os termos com incógnitas u^{\,n+1} à esquerda e os termos conhecidos (dependentes de u^{\,n} e das condições de contorno) à direita. Começando da equação do passo anterior:
u_i^{\,n+1}-u_i^{\,n} = \Delta t\left[-c\frac{u_i^{\,n+1}-u_{i-1}^{\,n+1}}{\Delta x} + \nu\frac{u_{i+1}^{\,n+1}-2u_i^{\,n+1}+u_{i-1}^{\,n+1}}{\Delta x^2}\right].
Expandindo o lado direito:
u_i^{\,n+1}-u_i^{\,n} = \Delta t\left[-\frac{c}{\Delta x}u_i^{\,n+1}+\frac{c}{\Delta x}u_{i-1}^{\,n+1}+\frac{\nu}{\Delta x^2}u_{i+1}^{\,n+1}-\frac{2\nu}{\Delta x^2}u_i^{\,n+1}+\frac{\nu}{\Delta x^2}u_{i-1}^{\,n+1}\right].
Agrupando os coeficientes de u_{i-1}^{\,n+1},u_i^{\,n+1},u_{i+1}^{\,n+1} e passando todos para o lado esquerdo:
\begin{aligned} &-\Delta t\left(\frac{\nu}{\Delta x^2}\right)u_{i+1}^{\,n+1} + \left[1+\Delta t\left(\frac{c}{\Delta x}+ \frac{2\nu}{\Delta x^2}\right)\right]u_i^{\,n+1} \\\ &\qquad -\Delta t\left(\frac{c}{\Delta x}+\frac{\nu}{\Delta x^2}\right)u_{i-1}^{\,n+1} = u_i^{\,n}. \end{aligned}
Para deixar mais legível, definimos os coeficientes (aqui ainda simbólicos):
A := -\Delta t\left(\frac{c}{\Delta x}+\frac{\nu}{\Delta x^2}\right),\qquad B := 1+\Delta t\left(\frac{c}{\Delta x}+\frac{2\nu}{\Delta x^2}\right),\qquad C := -\Delta t\left(\frac{\nu}{\Delta x^2}\right).
Assim a equação discreta implícita fica:
A\,u_{i-1}^{\,n+1} + B\,u_{i}^{\,n+1} + C\,u_{i+1}^{\,n+1} = u_i^{\,n}.
Isto responde a parte (a) — a discretização implícita pedida. (No próximo passo vamos calcular numericamente A,B,C com os dados.)

Passo 4

Agora calculamos numericamente os coeficientes usando os dados fornecidos. Primeiro calculamos as quantidades intermediárias:
\frac{c}{\Delta x} = \frac{1{,}5}{0{,}25}=6,\qquad \frac{\nu}{\Delta x^2} = \frac{0{,}2}{(0{,}25)^2}=\frac{0{,}2}{0{,}0625}=3{,}2.
Com isso:
\frac{c}{\Delta x}+\frac{\nu}{\Delta x^2}=6+3{,}2=9{,}2,
\frac{c}{\Delta x}+\frac{2\nu}{\Delta x^2}=6+2\cdot3{,}2=6+6{,}4=12{,}4.
Multiplicando por \Delta t=0{,}125:
\Delta t\left(\frac{c}{\Delta x}+\frac{\nu}{\Delta x^2}\right)=0{,}125\cdot9{,}2=1{,}15,
\Delta t\left(\frac{c}{\Delta x}+\frac{2\nu}{\Delta x^2}\right)=0{,}125\cdot12{,}4=1{,}55,
\Delta t\left(\frac{\nu}{\Delta x^2}\right)=0{,}125\cdot3{,}2=0{,}4.
Logo os coeficientes numéricos são:
A = -1{,}15,\qquad B = 1+1{,}55=2{,}55,\qquad C = -0{,}4.

Passo 5

Agora escrevemos explicitamente a equação discreta para i=1,2,3. Lembre que há 5 nós: i=0 (x=0) e i=4 (x=1) são contorno com valor fixo 270\\ \mathrm{K}. Para os nós interiores i=1,2,3 as equações (usando A,B,C numéricos) são:
para i=1:
A\,u_0^{\,n+1} + B\,u_1^{\,n+1} + C\,u_2^{\,n+1} = u_1^{\,n},
isto é
-1{,}15\,u_0^{\,n+1} + 2{,}55\,u_1^{\,n+1} -0{,}4\,u_2^{\,n+1} = u_1^{\,n}.
para i=2:
A\,u_1^{\,n+1} + B\,u_2^{\,n+1} + C\,u_3^{\,n+1} = u_2^{\,n},
isto é
-1{,}15\,u_1^{\,n+1} + 2{,}55\,u_2^{\,n+1} -0{,}4\,u_3^{\,n+1} = u_2^{\,n}.
para i=3:
A\,u_2^{\,n+1} + B\,u_3^{\,n+1} + C\,u_4^{\,n+1} = u_3^{\,n},
isto é
-1{,}15\,u_2^{\,n+1} + 2{,}55\,u_3^{\,n+1} -0{,}4\,u_4^{\,n+1} = u_3^{\,n}.
Como u_0^{\,n+1}=270 e u_4^{\,n+1}=270 são conhecidos, podemos mover esses termos para o lado direito e escrever o sistema somente nas incógnitas u_1^{\,n+1},u_2^{\,n+1},u_3^{\,n+1}. Fazendo isso obtemos:
para i=1:
2{,}55\,u_1^{\,n+1} -0{,}4\,u_2^{\,n+1} = u_1^{\,n} + 1{,}15\cdot 270,
para i=2:
-1{,}15\,u_1^{\,n+1} + 2{,}55\,u_2^{\,n+1} -0{,}4\,u_3^{\,n+1} = u_2^{\,n},
para i=3:
-1{,}15\,u_2^{\,n+1} + 2{,}55\,u_3^{\,n+1} = u_3^{\,n} + 0{,}4\cdot 270.
Se desejar os termos numéricos do lado direito para a primeira etapa temporal (onde u_i^{\,0}=500 para os interiores), substituindo u_1^{\,0}=u_2^{\,0}=u_3^{\,0}=500 e 270 para os contornos, obtemos:
\begin{aligned} &2{,}55\,u_1^{\,1} -0{,}4\,u_2^{\,1} = 500 + 1{,}15\cdot270 = 500 + 310{,}5 = 810{,}5,\\\ &-1{,}15\,u_1^{\,1} + 2{,}55\,u_2^{\,1} -0{,}4\,u_3^{\,1} = 500,\\\ &-1{,}15\,u_2^{\,1} + 2{,}55\,u_3^{\,1} = 500 + 0{,}4\cdot270 = 500 + 108 = 608. \end{aligned}

Passo 6

Finalmente montamos a matriz \mathrm{A}, o vetor incógnita \mathbf{x} (com as temperaturas nos nós interiores no tempo n+1) e o vetor \mathbf{b}. Escolhendo
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} u_1^{\,n+1} \\[4pt] u_2^{\,n+1} \\[4pt] u_3^{\,n+1} \end{pmatrix},
a matriz \mathrm{A} e o vetor \mathbf{b} (usando a forma após mover as condições de contorno) são:
\mathrm{A} = \begin{pmatrix} 2{,}55 & -0{,}4 & 0\\[4pt] -1{,}15 & 2{,}55 & -0{,}4\\[4pt] 0 & -1{,}15 & 2{,}55 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} u_1^{\,n} + 1{,}15\,u_0^{\,n+1}\\[4pt] u_2^{\,n}\\[4pt] u_3^{\,n} + 0{,}4\,u_4^{\,n+1} \end{pmatrix}.
Se quisermos o \mathbf{b} numérico para a primeira iteração (com u_1^{\,0}=u_2^{\,0}=u_3^{\,0}=500 e u_0^{\,1}=u_4^{\,1}=270) obtemos
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}810{,}5\\[4pt]500\\[4pt]608\end{pmatrix}.]

Resposta

a) Discretização implícita (forma geral):
-\Delta t\left(\frac{\nu}{\Delta x^2}\right)u_{i+1}^{\,n+1} + \left[1+\Delta t\left(\frac{c}{\Delta x}+\frac{2\nu}{\Delta x^2}\right)\right]u_i^{\,n+1} -\Delta t\left(\frac{c}{\Delta x}+\frac{\nu}{\Delta x^2}\right)u_{i-1}^{\,n+1} = u_i^{\,n}.
b) Equações para i=1,2,3 (coeficientes numéricos):
\begin{aligned} &-1{,}15\,u_0^{\,n+1} + 2{,}55\,u_1^{\,n+1} -0{,}4\,u_2^{\,n+1} = u_1^{\,n},\\[4pt] &-1{,}15\,u_1^{\,n+1} + 2{,}55\,u_2^{\,n+1} -0{,}4\,u_3^{\,n+1} = u_2^{\,n},\\[4pt] &-1{,}15\,u_2^{\,n+1} + 2{,}55\,u_3^{\,n+1} -0{,}4\,u_4^{\,n+1} = u_3^{\,n}. \end{aligned}
(Com contornos u_0^{\,n+1}=u_4^{\,n+1}=270 podemos reescrever as duas equações de borda como: 2{,}55\,u_1^{\,n+1}-0{,}4\,u_2^{\,n+1}=u_1^{\,n}+1{,}15\cdot270 e -1{,}15\,u_2^{\,n+1}+2{,}55\,u_3^{\,n+1}=u_3^{\,n}+0{,}4\cdot270.)
c) Sistema matricial \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} (nós interiores i=1,2,3):
\mathrm{A} = \begin{pmatrix} 2{,}55 & -0{,}4 & 0\\[4pt] -1{,}15 & 2{,}55 & -0{,}4\\[4pt] 0 & -1{,}15 & 2{,}55 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}u_1^{\,n+1}\\[4pt]u_2^{\,n+1}\\[4pt]u_3^{\,n+1}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}u_1^{\,n}+1{,}15\cdot270\\[4pt]u_2^{\,n}\\[4pt]u_3^{\,n}+0{,}4\cdot270\end{pmatrix}.
(Vetor \mathbf{b} numérico na primeira iteração com u_i^{\,0}=500: \mathbf{b}=(810{,}5,\;500,\;608)^\top.)]

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