Questão 03-4,0 : Considere a Equação Diferencial Parcial (EDP) que pode ser utilizada para representar a transferência de calor (\mathrm{u}(\mathrm{x}, \mathrm{t})) com adição de um efeito advectivo em uma barra unidimensional de comprimento L com caraterísticas físicas que podem ser desprezadas de forma a simplificar a solução do problema. Esta situação pode ser modelada pela EDP dada abaixo, durante um tempo total de simulação T , onde a velocidade de advecção e o coeficiente de difusividade são representados por c e \nu, respectivamente:
Com condição inicial: u(x, 0)=500 K, 0 \leqslant x \leqslant L
\Delta x=0.25 \mathrm{~m}
\Delta t=0.125 \mathrm{~m}
\nu=0.2 \frac{m^{2}}{s}
\begin{aligned} & u(0, t)=270 K, 0<t \leqslant T \\\ & u(L, t)=270 K, 0<t \leqslant T \end{aligned}
\mathrm{T}=0.25 \mathrm{~s}
\mathrm{L}=1 \mathrm{~m}
\mathrm{c}=1.5 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}
Resolva:
a) Discretize a equação geral avançada no tempo e atrasada no espaço utilizando método implícito: [Valor - 2,0 ]
b) Solucione a equação geral para os índice i=1,2 e 3; [Valor - 1,0]
c) Apresente a matrix \mathrm{Ax}=\mathrm{b}. [Valor - 1,0]
seja discretizada usando diferença avançada no tempo (diferença no tempo que envolve u^{n+1}) e diferença atrasada no espaço (diferença para a derivada espacial primeira usando u_i e u_{i-1}), num método implícito (os termos espaciais serão avaliados no tempo n+1). Os dados fornecidos que vamos usar explicitamente são:
\Delta x = 0{,}25\\ \mathrm{m},\quad \Delta t = 0{,}125\\ \mathrm{s},\quad \nu = 0{,}2\\ \mathrm{m^2/s},\quad c = 1{,}5\\ \mathrm{m/s},
L=1\\ \mathrm{m}\quad(\Rightarrow\\ x = 0,0{,}25,0{,}5,0{,}75,1\\ \text{m, índices } i=0,\dots,4),
As perguntas são:
a) Discretizar a equação conforme pedido (método implícito, avançada no tempo, atrasada no espaço).
b) Escrever/simplificar a equação discretizada para os índices i=1,2,3.
c) Apresentar a matriz do sistema \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} para os nós interiores (i=1,2,3), usando os valores numéricos fornecidos.
Passo 2
Vamos construir a discretização passo a passo. Primeiro definimos a notação que usaremos (super importante para quem vai fazer à mão na prova):
u_i^{n} = aproximação de u(x_i,t^n) com x_i = i\Delta x e t^n = n\Delta t.
A derivada temporal será aproximada por diferença no tempo entre n+1 e n:
Vamos reorganizar a equação para colocar todos os termos com incógnitas u^{\,n+1} à esquerda e os termos conhecidos (dependentes de u^{\,n} e das condições de contorno) à direita. Começando da equação do passo anterior:
A = -1{,}15,\qquad B = 1+1{,}55=2{,}55,\qquad C = -0{,}4.
Passo 5
Agora escrevemos explicitamente a equação discreta para i=1,2,3. Lembre que há 5 nós: i=0 (x=0) e i=4 (x=1) são contorno com valor fixo 270\\ \mathrm{K}. Para os nós interiores i=1,2,3 as equações (usando A,B,C numéricos) são:
para i=1:
Como u_0^{\,n+1}=270 e u_4^{\,n+1}=270 são conhecidos, podemos mover esses termos para o lado direito e escrever o sistema somente nas incógnitas u_1^{\,n+1},u_2^{\,n+1},u_3^{\,n+1}. Fazendo isso obtemos:
para i=1:
Se desejar os termos numéricos do lado direito para a primeira etapa temporal (onde u_i^{\,0}=500 para os interiores), substituindo u_1^{\,0}=u_2^{\,0}=u_3^{\,0}=500 e 270 para os contornos, obtemos:
Finalmente montamos a matriz \mathrm{A}, o vetor incógnita \mathbf{x} (com as temperaturas nos nós interiores no tempo n+1) e o vetor \mathbf{b}. Escolhendo
(Com contornos u_0^{\,n+1}=u_4^{\,n+1}=270 podemos reescrever as duas equações de borda como: 2{,}55\,u_1^{\,n+1}-0{,}4\,u_2^{\,n+1}=u_1^{\,n}+1{,}15\cdot270 e -1{,}15\,u_2^{\,n+1}+2{,}55\,u_3^{\,n+1}=u_3^{\,n}+0{,}4\cdot270.)
c) Sistema matricial \mathrm{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} (nós interiores i=1,2,3):