Dada a transformação linear T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(x+2 y,-x+4 y, x-y). Encontre a matriz da transformação linear.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear Tcolon R^2 to R^3 dada por
T(x,y) = (,x + 2y,;-x + 4y,;x - y,)
Para obter a matriz de T nas bases canônicas de R^2 e R^3, precisamos calcular as imagens de e1=(1,0) e e2=(0,1).

Passo 2

Relembrando que, na base canônica, a j-ésima coluna da matriz de T é exatamente T(ej). Logo, basta achar T(e1) e T(e2).

Passo 3

Calculemos as imagens:
T(e1) = T(1,0) = l(1 + 2cdot0,,-1 + 4cdot0,;1 - 0r) = (1,,-1,,1),
T(e2) = T(0,1) = l(0 + 2cdot1,,-0 + 4cdot1,;0 - 1r) = (2,,4,,-1)

Passo 4

Assemblando essas imagens como colunas, obtemos a matriz de T:
[T] = 1 & 2 -1 & 4 1 & -1

Resposta

1 & 2 -1 & 4 1 & -1

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