Seja o operador linear T: R^2 R^2, sendo T(x, y)=(x+2 y,-x+y). Considere as seguintes bases do R^2: A=(-1,1),(1,2) e B=(1,-3),(0,2).
Calcular (T(u))B, sendo(u)A=(0,2).

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear Tcolon R^2toR^2 definido por
T(x,y) = (x + 2y,,-x + y),
as bases
A = (-1,1),,(1,2) e B = (1,-3),,(0,2),
e o vetor u com coordenadas (u)A = (0,2). Precisamos encontrar (T(u))B seguindo estes passos: converter de coordenadas em A para o canônico, aplicar T e depois passar para coordenadas em B.

Passo 2

Converter (u)A para o vetor na base canônica:
u ;=; 0cdot(-1,1) ;+; 2cdot(1,2) ;=; (2,4)

Passo 3

Aplicar T ao vetor canônico (2,4):
T(2,4) ;=; (2 + 2cdot4,,-2 + 4) ;=; (10,2)

Passo 4

Expressar (10,2) na base B. Buscamos alpha,beta tais que
alpha,(1,-3) + beta,(0,2) = (10,2)
Da primeira coordenada vem alpha = 10. Substituindo na segunda:
-3cdot10 + 2beta = 2 Longrightarrow 2beta = 32 Longrightarrow beta = 16

Resposta

(T(u))B = (10,16).

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