Seja B=(1,0,1),(1,0,0),(-1,1,1) uma base do R^3. Sabendo que as coordenadas do vetor u in R^3 com respeito à base B é (3,1,-1), quais são as coordenadas de u em relação da base C=(1,1,1),(-1,1,0),(1,2,1) do R^3?

Passo 1

O enunciado nos dá a base B=(1,0,1),(1,0,0),(-1,1,1), a base C=(1,1,1),(-1,1,0),(1,2,1) e as coordenadas de um vetor u em relação a B, que são (3,1,-1). O objetivo é encontrar as coordenadas de u em relação a C. Para isso, primeiro vamos obter u no sistema canônico, e depois expressá-lo como combinação linear dos vetores de C.

Passo 2

Calcular u no sistema canônico usando as coordenadas em B. Como
u = 3,(1,0,1) + 1,(1,0,0) + (-1),(-1,1,1),
temos
u = (3,0,3) + (1,0,0) + (1,-1,-1) = (5,-1,2)

Passo 3

Agora, sejam alpha,beta,gamma as coordenadas de u na base C. Precisamos resolver
alpha,(1,1,1) + beta,(-1,1,0) + gamma,(1,2,1) = (5,-1,2),
o que gera o sistema
alpha - beta + gamma = 5, alpha + beta + 2gamma = -1, alpha + 0beta + gamma = 2

Passo 4

Resolvendo o sistema: da terceira equação alpha + gamma = 2 segue alpha = 2 - gamma. Substituindo na primeira equação,
(2-gamma) - beta + gamma = 5 implies 2 - beta = 5 implies beta = -3
Na segunda equação,
(2-gamma) + (-3) + 2gamma = -1 implies -1 + gamma = -1 implies gamma = 0
Logo alpha = 2 - 0 = 2.

Resposta

As coordenadas de u em relação à base C são (2,-3,0).

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