Encontre a soluçāo geral da equaçāo diferencial dada. y^{\prime \prime}+y=\tan (t), \quad 0<t<\pi / 2
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''+y=\tan(t),\qquad 0<t<\frac{\pi}{2}.
Informações relevantes dadas:
\text{EQUAÇÃO: } y''+y=\tan(t).
\text{DOMÍNIO: } 0<t<\frac{\pi}{2}\quad(\text{aqui } \tan t,\\ \operatorname{sec} t\\ \text{são positivas e bem definidas}).
O que precisamos encontrar: a solução geral y(t), isto é, a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular da equação não-homogênea.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada
y''+y=0.
Essa é uma equação linear com coeficientes constantes cuja equação característica é
r^2+1=0.
As raízes são r=\pm i. Então a solução geral da homogênea (solução complementar) é
y_c(t)=C_1\cos t + C_2\sin t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para obter uma solução particular y_p da equação completa usamos o método de variação de parâmetros — apropriado porque o termo forçante \tan t não é um candidato simples para coeficientes constantes. Vou explicar a fórmula e aplicar passo a passo.
Se y_1(t) e y_2(t) são duas soluções linearly independentes da homogênea, uma solução particular pelo método de variação de parâmetros tem a forma
y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t),
onde u_1,u_2 são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0
para simplificar cálculos, e então as derivadas devem satisfazer também
u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)=g(t),
onde g(t) é o lado direito da equação quando colocamos a equação na forma y''+p(t)y'+q(t)y=g(t). Aqui g(t)=\tan t.
No nosso caso escolhemos y_1(t)=\cos t e y_2(t)=\sin t, que são as soluções da homogênea encontradas. O Wronskiano é
W(t)=\begin{vmatrix}\cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t\end{vmatrix}=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Como W(t)=1, as fórmulas para u_1' e u_2' (no caso p(t)=0) reduzem-se a
No processo de variação de parâmetros podemos desprezar a constante de integração (qualquer constante aqui se absorve na solução homogênea), então escolhemos
u_2(t)=-\cos t.
Passo 6
Integramos u_1'. Primeiro simplificamos u_1':
u_1'(t)=-\frac{\sin^2 t}{\cos t}=-\left(\frac{1-\cos^2 t}{\cos t}\right)=-\left(\operatorname{sec} t - \cos t\right).
Logo
u_1'(t)=\cos t - \operatorname{sec} t.
Agora integramos:
u_1(t)=\int(\cos t - \operatorname{sec} t)\,dt=\int\cos t\,dt-\int\operatorname{sec} t\,dt.
A integral de \cos t é simples:
\int\cos t\,dt=\sin t.
A integral de \operatorname{sec} t é a conhecida primitiva
\int\operatorname{sec} t\,dt=\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr| + C.
(Um lembrete rápido: essa integral se obtém multiplicando numerador e denominador por \operatorname{sec} t+\tan t e usando substituição; o resultado padrão é \ln|\operatorname{sec} t+\tan t|.)
Desprezando constantes que serão incorporadas em y_c, obtemos
u_1(t)=\sin t - \ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|.
Passo 7
Formamos a solução particular
y_p(t)=u_1(t)\cos t + u_2(t)\sin t.
Substituindo u_1 e u_2:
y_p(t)=\bigl(\sin t - \ln|\operatorname{sec} t+\tan t|\bigr)\cos t + (-\cos t)\sin t.
Repare que \sin t\cos t aparece com sinais opostos e se cancelam:
A solução geral da equação é a soma da solução complementar e da solução particular:
y(t)=y_c(t)+y_p(t)=C_1\cos t + C_2\sin t - \cos t\ln\!\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias. (Qualquer constante adicional que aparecesse nas integrais de u_1,u_2 seria absorvida em C_1,C_2.)
Passo 9
Breve comentário de consistência: o método de variação de parâmetros garante que a y_p construída satisfaça a equação não-homogênea — verificar diretamente substituindo e derivando é possível mas envolve derivadas do log e simplificações; a construção acima é o procedimento padrão e correto.
Resposta
y(t)=C_1\cos t + C_2\sin t - \cos t\ln\!\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr)