É dada uma transformação linear T: V \rightarrow V. Se possível, encontre uma base \mathcal{C} para V tal que a matriz [T]_{c} de T, em relação à base \mathcal{C}, seja diagonal.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T\left[\begin{array}{l}a \\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}a-b \\\ a+b\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T\begin{bmatrix}a\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a-b\\\ a+b\end{bmatrix}.
Pergunta: existe uma base \mathcal{C} de \mathbb{R}^2 tal que a matriz [T]_{\mathcal{C}} seja diagonal? Se for possível, encontrar tal base.
Informações relevantes dadas:
  • O espaço é V=\mathbb{R}^2.
  • A ação de T sobre um vetor \begin{bmatrix}a\b\end{bmatrix} é \begin{bmatrix}a-b\a+b\end{bmatrix}.
  • Não há outras restrições no enunciado (podemos decidir trabalhar sobre \mathbb{R} ou estender para \mathbb{C}, mas a pergunta inicial refere-se a V=\mathbb{R}^2).

Passo 2

O que significa diagonalizar? Vou explicar devagarinho e com calma.
Definição prática: a matriz de T em relação a alguma base \mathcal{C} será diagonal se e só se existir uma base de V formada por autovetores (vectores v\neq 0 tais que T(v)=\lambda v para algum escalar \lambda). Esses escalares \lambda são os autovalores (ou valores próprios) e aparecem na diagonal da matriz.
Para encontrar autovalores e autovetores, normalmente:
  1. Obtemos a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2.
  2. Calculamos o polinómio característico \det(A-\lambda I) e resolvemos \det(A-\lambda I)=0 para achar os \lambda.
  3. Para cada \lambda achado, resolvemos (A-\lambda I)x=0 para achar os autovetores.
Se não existir um conjunto de dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, não há base real que diagonalize T.

Passo 3

Construo a matriz A de T na base canônica \{e_1,e_2\} de \mathbb{R}^2. Uso que as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base expressas na mesma base.
Calculemos:
T(e_1)=T\begin{bmatrix}1\\\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1-0\\\ 1+0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\\ 1\end{bmatrix}, \qquad T(e_2)=T\begin{bmatrix}0\\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0-1\\\ 0+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\\ 1\end{bmatrix}.
Logo a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculo o polinómio característico \det(A-\lambda I). Lembre que I é a identidade 2\times2, e que \det de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}p&q\\\ r&s\end{pmatrix} é ps-qr.
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\[4pt] 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Então
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(1-\lambda)-(-1)(1)=(1-\lambda)^2+1.
Expandindo,
(1-\lambda)^2+1=\lambda^2-2\lambda+2.
Portanto o polinómio característico é
\lambda^2-2\lambda+2=0.]

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática \lambda^2-2\lambda+2=0, uso a fórmula de Bhaskara (ou a fórmula quadrática). Para uma equação a\lambda^2+b\lambda+c=0, as raízes são
\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-2, c=2. O discriminante é
\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4<0.
Como \Delta<0, as raízes são complexas:
\lambda=1\pm i.
Esses são os autovalores, mas são números complexos, não reais.

Passo 6

Interpretação e conclusão sobre diagonalização em \mathbb{R}^2:
Se existisse uma base real \mathcal{C} de \mathbb{R}^2 que diagonalizasse T, então os elementos da diagonal seriam autovalores reais (porque a matriz na base real tem entradas reais, e os elementos da diagonal são exatamente as imagens dos vetores da base, que seriam escalares reais multiplicando esses vetores). Como acabamos de ver, os autovalores de A são \,1\pm i, que não são reais. Portanto não existem autovalores reais, logo não existem dois autovetores reais linearmente independentes que formem uma base real. Conclusão: não é possível diagonalizar T usando uma base de \mathbb{R}^2.

Passo 7

(Aqui mostro rapidamente o que ocorreria se permitíssemos bases complexas — isto é pedagógico e opcional, para você entender melhor.)
Se permitirmos extensão para \mathbb{C}^2, então T tem autovalores \lambda_1=1+i e \lambda_2=1-i. Para \lambda_1=1+i resolvemos (A-(1+i)I)x=0:
\begin{pmatrix}-i & -1\\[4pt] 1 & -i\end{pmatrix}\begin{bmatrix}x\\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\end{bmatrix}.
Da primeira linha obtemos -i x - y=0, então y=-i x. Um autovetor correspondente é
v_1=\begin{bmatrix}1\\\\ -i\end{bmatrix}.
Para \lambda_2=1-i o autovetor conjugado é
v_2=\begin{bmatrix}1\\\ i\end{bmatrix}.
Os vetores v_1,v_2 são linearmente independentes em \mathbb{C}^2, e formando a matriz de mudança de base P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -i & i\end{pmatrix} obtemos a diagonalização complexa
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1+i & 0\\[4pt] 0 & 1-i\end{pmatrix}.
Mas tudo isso usa vetores com entradas complexas; não dá uma base em \mathbb{R}^2.]

Resposta

Não existe base real \mathcal{C} de \mathbb{R}^2 tal que [T]_{\mathcal{C}} seja diagonal (os autovalores são \,1\pm i, não reais).
Em \mathbb{C}^2, uma base de autovetores é \left\{\begin{bmatrix}1\\\ -i\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\i\end{bmatrix}\right\} e a diagonal correspondente é \operatorname{diag}(1+i,\,1-i).

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