É dada uma transformação linear T: V \rightarrow V. Se possível, encontre uma base \mathcal{C} para V tal que a matriz [T]_{c} de T, em relação à base \mathcal{C}, seja diagonal. T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T\left[\begin{array}{l}a \\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}a-b \\\ a+b\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
Pergunta: existe uma base \mathcal{C} de \mathbb{R}^2 tal que a matriz [T]_{\mathcal{C}} seja diagonal? Se for possível, encontrar tal base.
Informações relevantes dadas:
O espaço é V=\mathbb{R}^2.
A ação de T sobre um vetor \begin{bmatrix}a\b\end{bmatrix} é \begin{bmatrix}a-b\a+b\end{bmatrix}.
Não há outras restrições no enunciado (podemos decidir trabalhar sobre \mathbb{R} ou estender para \mathbb{C}, mas a pergunta inicial refere-se a V=\mathbb{R}^2).
Passo 2
O que significa diagonalizar? Vou explicar devagarinho e com calma.
Definição prática: a matriz de T em relação a alguma base \mathcal{C} será diagonal se e só se existir uma base de V formada por autovetores (vectores v\neq 0 tais que T(v)=\lambda v para algum escalar \lambda). Esses escalares \lambda são os autovalores (ou valores próprios) e aparecem na diagonal da matriz.
Para encontrar autovalores e autovetores, normalmente:
Obtemos a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2.
Calculamos o polinómio característico \det(A-\lambda I) e resolvemos \det(A-\lambda I)=0 para achar os \lambda.
Para cada \lambda achado, resolvemos (A-\lambda I)x=0 para achar os autovetores.
Se não existir um conjunto de dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, não há base real que diagonalize T.
Passo 3
Construo a matriz A de T na base canônica \{e_1,e_2\} de \mathbb{R}^2. Uso que as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base expressas na mesma base.
Agora calculo o polinómio característico \det(A-\lambda I). Lembre que I é a identidade 2\times2, e que \det de uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}p&q\\\ r&s\end{pmatrix} é ps-qr.
Resolvendo a equação quadrática \lambda^2-2\lambda+2=0, uso a fórmula de Bhaskara (ou a fórmula quadrática). Para uma equação a\lambda^2+b\lambda+c=0, as raízes são
\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-2, c=2. O discriminante é
\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4<0.
Como \Delta<0, as raízes são complexas:
\lambda=1\pm i.
Esses são os autovalores, mas são números complexos, não reais.
Passo 6
Interpretação e conclusão sobre diagonalização em \mathbb{R}^2:
Se existisse uma base real \mathcal{C} de \mathbb{R}^2 que diagonalizasse T, então os elementos da diagonal seriam autovalores reais (porque a matriz na base real tem entradas reais, e os elementos da diagonal são exatamente as imagens dos vetores da base, que seriam escalares reais multiplicando esses vetores). Como acabamos de ver, os autovalores de A são \,1\pm i, que não são reais. Portanto não existem autovalores reais, logo não existem dois autovetores reais linearmente independentes que formem uma base real. Conclusão: não é possível diagonalizar T usando uma base de \mathbb{R}^2.
Passo 7
(Aqui mostro rapidamente o que ocorreria se permitíssemos bases complexas — isto é pedagógico e opcional, para você entender melhor.)
Se permitirmos extensão para \mathbb{C}^2, então T tem autovalores \lambda_1=1+i e \lambda_2=1-i. Para \lambda_1=1+i resolvemos (A-(1+i)I)x=0:
Da primeira linha obtemos -i x - y=0, então y=-i x. Um autovetor correspondente é
v_1=\begin{bmatrix}1\\\\ -i\end{bmatrix}.
Para \lambda_2=1-i o autovetor conjugado é
v_2=\begin{bmatrix}1\\\ i\end{bmatrix}.
Os vetores v_1,v_2 são linearmente independentes em \mathbb{C}^2, e formando a matriz de mudança de base P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -i & i\end{pmatrix} obtemos a diagonalização complexa
Mas tudo isso usa vetores com entradas complexas; não dá uma base em \mathbb{R}^2.]
Resposta
Não existe base real \mathcal{C} de \mathbb{R}^2 tal que [T]_{\mathcal{C}} seja diagonal (os autovalores são \,1\pm i, não reais).
Em \mathbb{C}^2, uma base de autovetores é \left\{\begin{bmatrix}1\\\ -i\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\i\end{bmatrix}\right\} e a diagonal correspondente é \operatorname{diag}(1+i,\,1-i).