É dada uma transformação linear
. Se possível, encontre uma base
para
tal que a matriz
de
, em relação à base
, seja diagonal.
definida por
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que se pede: se possível, encontrar uma base
de
tal que a matriz de
em relação a
, ou seja
, seja diagonal.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
A partir disso vamos verificar se
é diagonalizável e, se for, construir explicitamente a base formada por autovetores (vetores próprios) que diagonaliza
.
Passo 2
Primeiro escrevemos a matriz de
na base canônica
, usando
e
. Calculamos as imagens:
A matriz
tem essas imagens como colunas:
Passo 3
Explicação didática: para diagonalizar
procuramos uma base de
formada por autovetores de
. Um escalar
é autovalor (valor próprio) se existe vetor não nulo
tal que
Esse
é autovetor correspondente a
. Se conseguimos dois autovetores linearmente independentes em
, então eles formam uma base que diagonaliza
; a matriz na base de autovetores será diagonal com os autovalores na diagonal.
Passo 4
Para achar autovalores calculamos o polinômio característico
. Escrevemos
Calculamos o determinante passo a passo:
Expandindo:
Portanto o polinômio característico é
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática
. Fatorando:
Assim os autovalores são
Como são dois autovalores distintos em
, já sabemos pela teoria que existem dois autovetores linearmente independentes e, portanto,
(e
) é diagonalizável.
Passo 6
Agora encontramos autovetores para
. Resolvemos
. Temos
Se
, o sistema é
Da primeira equação vem
. Tomando
(podemos escalar o autovetor à vontade), obtemos o autovetor correspondente a
:
Verificação rápida: aplicando
em
,
confirmando que é autovetor de autovalor
.]
Passo 7
Agora autovetores para
. Resolvemos
. Calculamos
O sistema para
é
Da segunda equação vem
. Tomando
(novamente escolha conveniente), obtemos o autovetor
Verificação:
logo é autovetor de autovalor
.]
Passo 8
Checagem da independência linear dos autovetores
e
: eles não são múltiplos um do outro (por exemplo
não é escalar de
). Podemos também ver pelo determinante da matriz cujas colunas são
:
Como
, as colunas são linearmente independentes e formam uma base de
.]
Passo 9
Conclusão construtiva: tomando a base
, a matriz de
nessa base é diagonal com os autovalores correspondentes na diagonal, na ordem dos vetores da base. Ou seja,
Explicação rápida do porquê: a coluna
de
é a coordenada de
em relação à base
. Aqui
e
, então as colunas ficam
e
, formando a diagonal acima.]