Determine se a transformação linear T é invertível considerando sua matriz em relação às bases canônicas. Se T é invertível, use o Teorema 3 e o método do Exemplo 7 para encontrar T^{-1}. T: M_{22} \rightarrow M_{22} definida por T(A)=A B, onde B=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a transformação linear T é invertível, usando a matriz de T relativa às bases canônicas de M_{22}. Se T for invertível, devo usar o Teorema 3 e o método do Exemplo 7 para encontrar T^{-1}.
Informações dadas:
T: M_{22} \to M_{22},\qquad T(A)=A B,
onde
B=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Vou trabalhar com a base canônica de M_{22}, que é formada pelas matrizes
ordenadas na sequência \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}. A partir das imagens desses vetores-base eu formarei a matriz de T.]
Passo 2
Recordando como calcular a matriz de uma transformação linear: a coluna j da matriz de T relativa à base canônica é justamente as coordenadas de T aplicado ao j-ésimo elemento da base, expressas nessa mesma base. Vou calcular T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}) explicando cada multiplicação E_{ij}B.
Para verificar invertibilidade de M_T podemos usar que o determinante de uma matriz em blocos diagonal é o produto dos determinantes dos blocos. Assim
\det(M_T)=\det(B)\cdot\det(B)=(\det B)^2.
Calculemos \det B:
\det B = 3\cdot 1 - 2\cdot 2 = 3-4 = -1.
Logo \det(M_T)=(-1)^2=1\neq 0. Assim M_T é invertível, e portanto a transformação T é invertível. (Isto também confirma o fato geral: a transformação A\mapsto AB é invertível se, e somente se, B é invertível.)
Passo 9
Agora, pelo método padrão para inversas de matrizes em blocos diagonais, a inversa de M_T é o bloco diagonal com as inversas dos blocos: