Determine se a transformação linear T é invertível considerando sua matriz em relação às bases canônicas. Se T é invertível, use o Teorema 3 e o método do Exemplo 7 para encontrar T^{-1}.
T: M_{22} \rightarrow M_{22} definida por T(A)=A B, onde B=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a transformação linear T é invertível, usando a matriz de T relativa às bases canônicas de M_{22}. Se T for invertível, devo usar o Teorema 3 e o método do Exemplo 7 para encontrar T^{-1}.
Informações dadas:
T: M_{22} \to M_{22},\qquad T(A)=A B,
onde
B=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Vou trabalhar com a base canônica de M_{22}, que é formada pelas matrizes
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
ordenadas na sequência \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}. A partir das imagens desses vetores-base eu formarei a matriz de T.]

Passo 2

Recordando como calcular a matriz de uma transformação linear: a coluna j da matriz de T relativa à base canônica é justamente as coordenadas de T aplicado ao j-ésimo elemento da base, expressas nessa mesma base. Vou calcular T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}) explicando cada multiplicação E_{ij}B.

Passo 3

Calculemos T(E_{11})=E_{11}B. Multiplicando:
E_{11}B= \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&2\\[4pt]2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 3 + 0\cdot 2 & 1\cdot 2 + 0\cdot 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Expressando em termos da base canônica:
\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}=3E_{11}+2E_{12}.
Portanto a primeira coluna da matriz de T (coordenadas de T(E_{11})) é \begin{pmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora T(E_{12})=E_{12}B.
E_{12}B= \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&2\\[4pt]2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot3+1\cdot2 & 0\cdot2+1\cdot1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}=2E_{11}+1E_{12}.
Assim a segunda coluna da matriz de T é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcule T(E_{21})=E_{21}B.
E_{21}B= \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&2\\[4pt]2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1\cdot3+0\cdot2 & 1\cdot2+0\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]3&2\end{pmatrix}=3E_{21}+2E_{22}.
Portanto a terceira coluna é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]3\\[2pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Finalmente T(E_{22})=E_{22}B.
E_{22}B= \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&2\\[4pt]2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]2&1\end{pmatrix}=2E_{21}+1E_{22}.
A quarta coluna é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montando a matriz de T na base canônica (colunas obtidas nos passos anteriores), obtemos a matriz M_T de dimensão 4\times 4:
M_T= \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Observe que M_T é uma matriz em blocos, com dois blocos 2\times2 iguais a B sobre a diagonal:
M_T=\begin{pmatrix}B & 0\\[4pt]0 & B\end{pmatrix}.]

Passo 8

Para verificar invertibilidade de M_T podemos usar que o determinante de uma matriz em blocos diagonal é o produto dos determinantes dos blocos. Assim
\det(M_T)=\det(B)\cdot\det(B)=(\det B)^2.
Calculemos \det B:
\det B = 3\cdot 1 - 2\cdot 2 = 3-4 = -1.
Logo \det(M_T)=(-1)^2=1\neq 0. Assim M_T é invertível, e portanto a transformação T é invertível. (Isto também confirma o fato geral: a transformação A\mapsto AB é invertível se, e somente se, B é invertível.)

Passo 9

Agora, pelo método padrão para inversas de matrizes em blocos diagonais, a inversa de M_T é o bloco diagonal com as inversas dos blocos:
M_T^{-1}=\begin{pmatrix}B^{-1} & 0\\[4pt]0 & B^{-1}\end{pmatrix}.
Vamos obter B^{-1} explicitamente usando a fórmula da inversa de 2\times2:
Para \displaystyle B=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} tem-se
B^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aplicando a B=\begin{pmatrix}3&2\\[4pt]2&1\end{pmatrix} com \det B=-1, temos
B^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix}.
Verificação rápida: B B^{-1}=I_2.]

Passo 10

Interpretação linear: a operação que corresponde a M_T^{-1} é multiplicar à direita por B^{-1}. Ou seja, para qualquer C\in M_{22},
T^{-1}\text{(C)}=C\,B^{-1}.
Verificação de consistência: T(T^{-1}\text{(C)})=(C B^{-1})B=C(B^{-1}B)=C I_2=C.

Resposta

B^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix}
T^{-1}(A)=A\,B^{-1}]

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