Dada a transformação T(x1, x2, x3, x4, x5)=(x1-x3, x2-x4, 2 x5),
Determine o núcleo e a imagem de T;

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T: R^5to R^3, definida por
T(x1,x2,x3,x4,x5) = (,x1 - x3,;x2 - x4,;2x5,)
Precisamos encontrar o núcleo ker(T) e a imagem Im(T). Lembremos que
ker(T)=vin R^5mid T(v)=0 e Im(T)=T(v)mid vin R^5.

Passo 2

Para achar
isto é, o sistema
Dessa forma e . Logo
que é um subespaço de dimensão . Uma base conveniente é

Passo 3

Para determinar Im(T) examinamos as imagens dos vetores padrão:
T(e1)=(1,0,0), T(e2)=(0,1,0), T(e3)=(-1,0,0), T(e4)=(0,-1,0), T(e5)=(0,0,2)
Portanto
Im(T) = span(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)
Como esses três vetores geram toda R^3, concluímos que
Im(T)= R^3.

Resposta

ker(T)=(a,b,a,b,0)mid a,bin R
Im(T)= R^3

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