Dada a transformação T(x1, x2, x3, x4, x5)=(x1-x3, x2-x4, 2 x5),
Determine uma base para ker(T) e Im(T). Quais as dimensões destes conjuntos?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^5 to R^3, T(x1,x2,x3,x4,x5) = (x1 - x3,;x2 - x4,;2x5)
e pede uma base para ker(T) e para Im(T), além das dimensões desses subespaços. Vamos usar a definição de núcleo (solução de T(x)=0) e a de imagem (span das colunas ou das imagens de vetores de base).

Passo 2

Para achar
isto é
Dessas equações vem e .

Passo 3

Escrevendo x1=x3=a e x2=x4=b, temos
(x1,x2,x3,x4,x5) = (a,b,a,b,0) = a,(1,0,1,0,0) + b,(0,1,0,1,0)
Logo uma base de ker(T) é
(1,0,1,0,0),;(0,1,0,1,0),
e dim(ker(T)) = 2.

Passo 4

Para Im(T), note que basta ver as imagens dos vetores canônicos ei de R^5:
T(e1) = (1,0,0),;T(e2) = (0,1,0),;T(e3) = (-1,0,0),;T(e4) = (0,-1,0),;T(e5) = (0,0,2)
Portanto
Im(T) = span(1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,2)

Passo 5

Os vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,2) são linearmente independentes em R^3, logo formam uma base de Im(T). Assim
dim(Im(T)) = 3

Resposta

Base de ker(T): (1,0,1,0,0),;(0,1,0,1,0), dim(ker(T))=2.
Base de Im(T): (1,0,0),;(0,1,0),;(0,0,2), dim(Im(T))=3.

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