Dada a transformação
,
Té injetora? Sobrejetora? Justifique.
Té injetora? Sobrejetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
O objetivo é decidir se
é injetora (kernel trivial) e se é sobrejetora (imagem igual a
). Para isso usamos os conceitos de núcleo e de imagem de uma transformação linear.
Passo 2
Para testar injetividade, calculamos o núcleo, isto é, todas as soluções de
Isso equivale ao sistema
Daqui segue
logo o vetor genérico em
é
Passo 3
Como
contém todos os vetores
com
livres, sua dimensão é 2 e não é apenas o vetor zero. Portanto
não é injetora.
Passo 4
Para testar sobrejetividade, pegamos um vetor arbitrário
e buscamos
tal que
Basta escolher, por exemplo,
Então
mostrando que todo
tem pré-imagem. Logo
.