Dada a transformação T(x1, x2, x3, x4, x5)=(x1-x3, x2-x4, 2 x5),
Té injetora? Sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^5to R^3, T(x1,x2,x3,x4,x5)=(,x1-x3,;x2-x4,;2x5,)
O objetivo é decidir se T é injetora (kernel trivial) e se é sobrejetora (imagem igual a R^3). Para isso usamos os conceitos de núcleo e de imagem de uma transformação linear.

Passo 2

Para testar injetividade, calculamos o núcleo, isto é, todas as soluções de
T(x1,x2,x3,x4,x5)=(0,0,0)
Isso equivale ao sistema
x1-x3=0, x2-x4=0, 2x5=0
Daqui segue
x1=x3, x2=x4, x5=0,
logo o vetor genérico em ker T é
(x1,x2,x3,x4,x5)=(a,b,a,b,0) com a,binR

Passo 3

Como ker T contém todos os vetores (a,b,a,b,0) com a,b livres, sua dimensão é 2 e não é apenas o vetor zero. Portanto T não é injetora.

Passo 4

Para testar sobrejetividade, pegamos um vetor arbitrário (y1,y2,y3)inR^3 e buscamos (x1,dots,x5) tal que
T(x1,dots,x5)=(y1,y2,y3)
Basta escolher, por exemplo,
(x1,x2,x3,x4,x5)=(y1,,y2,,0,,0,,tfracy32)
Então
T(y1,y2,0,0,tfracy32) =(,y1-0,;y2-0,;2cdottfracy32,)=(y1,y2,y3),
mostrando que todo (y1,y2,y3) tem pré-imagem. Logo Im,T=R^3.

Resposta

T não é injetora e é sobrejetora.

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