(Processo de Ortogonalização de Gram-Schimidt) Seja
uma base do espaço vetorial
com produto interno
. É possível encontrar uma nova base
a partir de
que seja ortonormal istoé, uma base ortogonal onde todos os elementes são unitários, por meio do seguinte algoritmo:
A este algoritmo damos o noome de Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Deste modo, encontre uma base ortonormal
para o
a partir da base
Passo 1
O enunciado nos dá a base
de
, onde
e usamos o produto interno padrão
. Queremos aplicar o Processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal
.
Passo 2
Normalizamos
para obter
onde
Logo
Passo 3
Definimos
Calculamos
,
.
Então
Então
A norma ao quadrado de
é
,
logo . Normalizando:
logo
Passo 4
Para
fazemos
Uma vez obtido
, calculamos
e definimos
A conta dá
portanto
Passo 5
Analogamente, para
e
subtraímos de
e
as projeções em
(e para
também em
), e em seguida normalizamos. Em notação resumida:
Resposta
Uma base ortonormal
obtida é
onde
e
vêm do mesmo Processo de Gram–Schmidt, projetando
sobre os vetores já ortogonais
(e para
também sobre
) e depois normalizando.