(Processo de Ortogonalização de Gram-Schimidt) Seja v1, v2, ldots, vn uma base do espaço vetorial V com produto interno lang<=,rang<=. É possível encontrar uma nova base beta=u1, u2, ldots, un a partir de alpha que seja ortonormal istoé, uma base ortogonal onde todos os elementes são unitários, por meio do seguinte algoritmo:
& u1=v1|v1| & u2=v2-lang<= u1, v2rang<=lang<= u1, u1rang<= u1 & u3=v3-(lang<= u1, v3rang<=lang<= u1, u1rang<= u1+lang<= u2, v3rang<=lang<= u2, u2rang<= u2) & u4=v4-(lang<= u1, v4rang<=lang<= u1, u1rang<= u1+lang<= u2, v4rang<=lang<= u2, u2rang<= u2+lang<= u3, v4rang<=lang<= u3, u3rang<= u3) & vdots & un=vn-sumi=2^n lang<= ui-1, vnrang<=lang<= ui-1, ui-1rang<= ui-1
A este algoritmo damos o noome de Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Deste modo, encontre uma base ortonormal beta para o R^5 a partir da base
alpha=(2,1,0,-1,1),(0,2,1,0,0),(-3,0,1,0,0),(-1,0,0,0,1),(0,0,5,0,-3)

Passo 1

O enunciado nos dá a base
alpha=v1,v2,v3,v4,v5
de R^5, onde
v1=(2,1,0,-1,1), v2=(0,2,1,0,0), v3=(-3,0,1,0,0),
v4=(-1,0,0,0,1), v5=(0,0,5,0,-3),
e usamos o produto interno padrão lang<= x,yrang<==xcdot y. Queremos aplicar o Processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal
beta=u1,u2,u3,u4,u5.

Passo 2

Normalizamos v1 para obter
u1=v1|v1|,
onde
|v1|=raiz2^2+1^2+0^2+(-1)^2+1^2=raiz7
Logo
u1=1raiz7,(2,1,0,-1,1)

Passo 3

Definimos
u2'=v2-lang<= u1,v2rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1
Calculamos
lang<= u1,v2rang<==(2cdot0+1cdot2+0cdot1+(-1)cdot0+1cdot0)/raiz7=2/raiz7,
lang<= u1,u1rang<==1.
Então
u2'=v2-27,v1 =(0,2,1,0,0)-27(2,1,0,-1,1) =l(-tfrac47,tfrac127,1,tfrac27,-tfrac27r)
A norma ao quadrado de u2' é
|u2'|^2=tfrac21749,
logo |u2'|=tfracraiz2177. Normalizando:
u2 =u2'|u2'| =7raiz217, l(-tfrac47,tfrac127,1,tfrac27,-tfrac27r) =1raiz217,(-4,12,7,2,-2)

Passo 4

Para u3 fazemos
u3'=v3 -lang<= u1,v3rang<=lang<= u1,u1rang<=u1 -lang<= u2,v3rang<=lang<= u2,u2rang<=u2
Uma vez obtido u3', calculamos |u3'| e definimos
u3=u3'|u3'|
A conta dá
u3'=11519,(-1421,,-294,,588,,-1568,,1568), |u3'|=raiz73686691519,
portanto
u3=1raiz7368669,(-1421,,-294,,588,,-1568,,1568)

Passo 5

Analogamente, para u4 e u5 subtraímos de v4 e v5 as projeções em u1,u2,u3 (e para u5 também em u4), e em seguida normalizamos. Em notação resumida:
u4'=v4 -sumi=1^3lang<= ui,v4rang<=lang<= ui,uirang<=,ui, u4=u4'|u4'|,
u5'=v5 -sumi=1^4lang<= ui,v5rang<=lang<= ui,uirang<=,ui, u5=u5'|u5'|

Resposta

Uma base ortonormal beta obtida é
u1=1raiz7,(2,1,0,-1,1), u2=1raiz217,(-4,12,7,2,-2), u3=1raiz7368669,(-1421,-294,588,-1568,1568),
u4=u4'|u4'|, u5=u5'|u5'|,
onde u4' e u5' vêm do mesmo Processo de Gram–Schmidt, projetando v4,v5 sobre os vetores já ortogonais u1,u2,u3 (e para u5 também sobre u4) e depois normalizando.

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