Dada a transformação ,
(a) Determine o núcleo e a imagem de ;
(b) Determine uma base para e . Quais as dimensões destes conjuntos?
(c) Té injetora? Sobrejetora? Justifique.
(d) Encontre a matriz da transformação em relação ás bases canônicas do .
(e) Encontre os autovalores e autovetores de . É possível formar uma base de autovetores para ? Se sim, exiba esta base e determine uma nova base a partir desta que seja ortonormal. Caso contrário, justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Vamos precisar usar a definição de núcleo (kernel), imagem, testes de injetividade e sobrejetividade, além de montar a matriz e discutir eigenvalores só se T fosse endomorfismo quadrado.
Para a imagem, note que qualquer vetor em pode ser escrito como
escolhendo . Logo .
Passo 4
Base e dimensões:
tem base
logo .
tem base canônica
e .
Passo 5
Injetora? Não, pois .
Sobrejetora? Sim, pois (é sobre o contradomínio).
Passo 6
A matriz de nas bases canônicas de e é :
Passo 7
Como TcolonR^5toR^3 não é um operador endomórfico quadrado em R^5, não faz sentido falar em autovalores e autovetores de T. Logo não há base de autovetores nem orthonormalização.
Resposta
(a) ker(T)=(t1,t2,t1,t2,0):t1,t2inR, Im(T)=R^3
(b)
Base de ker(T): (1,0,1,0,0),,(0,1,0,1,0), dimker(T)=2.
Base de Im(T): canônica (1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1), dimIm(T)=3.
(c)
T não é injetora (kernel não trivial) e é sobrejetora (imagem = R^3).
(d)