Dada a transformação T(x1, x2, x3, x4, x5)=(x1-x3, x2-x4, 2 x5),
(a) Determine o núcleo e a imagem de T;
(b) Determine uma base para ker(T) e Im(T). Quais as dimensões destes conjuntos?
(c) Té injetora? Sobrejetora? Justifique.
(d) Encontre a matriz da transformação em relação ás bases canônicas do R^5.
(e) Encontre os autovalores e autovetores de T. É possível formar uma base de autovetores para T ? Se sim, exiba esta base e determine uma nova base beta a partir desta que seja ortonormal. Caso contrário, justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^5toR^3, T(x1,x2,x3,x4,x5)=(x1-x3,;x2-x4,;2x5)
Vamos precisar usar a definição de núcleo (kernel), imagem, testes de injetividade e sobrejetividade, além de montar a matriz e discutir eigenvalores só se T fosse endomorfismo quadrado.

Passo 2

Para achar
Daí (x_{1}=x_{3},;x_{2}=x_{4},;x_{5}=0]. Podemos parametrizar:

Passo 3

Para a imagem, note que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como
(y1,y2,y3) =(x1-x3,,x2-x4,,2x5)
escolhendo x3=0,;x4=0,;x1=y1,;x2=y2,;x5=y3/2. Logo Im(T)=R^3.

Passo 4

Base e dimensões:
  • ker(T) tem base
(1,0,1,0,0),;(0,1,0,1,0),
logo dimker(T)=2.
  • Im(T)=R^3 tem base canônica
(1,0,0),;(0,1,0),;(0,0,1),
e dimIm(T)=3.

Passo 5

Injetora? Não, pois ker(T)neq0.
Sobrejetora? Sim, pois Im(T)=R^3 (é sobre o contradomínio).

Passo 6

A matriz de T nas bases canônicas de R^5 e R^3 é 3times5:
[T] = 1 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2

Passo 7

Como TcolonR^5toR^3 não é um operador endomórfico quadrado em R^5, não faz sentido falar em autovalores e autovetores de T. Logo não há base de autovetores nem orthonormalização.

Resposta

(a)
ker(T)=(t1,t2,t1,t2,0):t1,t2inR, Im(T)=R^3
(b)
Base de ker(T): (1,0,1,0,0),,(0,1,0,1,0), dimker(T)=2.
Base de Im(T): canônica (1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1), dimIm(T)=3.
(c)
T não é injetora (kernel não trivial) e é sobrejetora (imagem = R^3).
(d)
[T] = 1 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2
(e)
Não se definem autovalores/autovetores para T pois T não é endomorfismo quadrado.

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