Q18: Considere as afirmativas abaixo:
I) Se A=A^{T}, então A é diagonalizável.
II) Se M é simétrica e \lambda é um autovalor de M, então \lambda possui multiplicidade algébrica igual a sua multiplicidade geométrica.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas e pede que a gente decida sobre elas. Vou listar com clareza o que está sendo perguntado e quais informações são dadas:
I) A afirmação: “Se A=A^{T}, então A é diagonalizável.”
II) A afirmação: “Se M é simétrica e \lambda é um autovalor de M, então \lambda possui multiplicidade algébrica igual à sua multiplicidade geométrica.”
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas):
As matrizes A e M são matrizes reais (pois usa-se A^{T} e a palavra “simétrica”).
Precisamos decidir se cada afirmativa é verdadeira ou falsa.
Não vou resolver nada aqui — só escrevi claramente o que cada item pergunta e o que sabemos sobre o tipo de matriz envolvida.
Passo 2
Vou explicar conceitos que vamos usar (devagar e sem pular etapas):
Definições essenciais:
Autovalor e autovetor: para uma matriz real A e um vetor não nulo v, dizemos que v é autovetor de A associado ao autovalor \lambda se
A v = \lambda v.
Multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda: é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico \det(A-\lambda I).
Multiplicidade geométrica de \lambda: é a dimensão do espaço próprio (autespaço) \ker(A-\lambda I), ou seja, o número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda.
Matriz diagonalizável: uma matriz A é diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n) formada por autovetores de A. Equivalentemente, existe uma invertível P tal que
P^{-1} A P = D
com D diagonal. Nessa situação, para cada autovalor \lambda, sua multiplicidade geométrica soma, sobre todos os autovalores, até n. Em particular, se A é diagonalizável, para cada \lambda a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica (porque o total de autovetores independentes é n e o polinômio característico se factoriza em diagonais).
Essas definições são importantes porque a afirmação II fala exatamente da igualdade entre multiplicidades algébrica e geométrica, e a I fala de diagonalizabilidade.
Passo 3
Propriedade útil sobre matrizes simétricas (primeiro passo técnico): todo autovalor de uma matriz simétrica real é real.
Prova didática e detalhada (essa é um truque padrão e rápido): suponha A é real e A^T=A. Tome um autovalor \lambda (possivelmente complexo) com autovetor não nulo v (possivelmente vetor complexo). Então
A v = \lambda v.
Multiplicamos à esquerda por v^{*} (conjugado transposto de v) e obtemos
v^{*} A v = \lambda v^{*} v.
Agora observe que v^{*} A v é um número escalar que satisfaz
\overline{v^{*} A v} = v^{*} A^{*} v.
Como A é real simétrica, A^{*}=A. Logo v^{*} A v é igual ao seu conjugado, isto é, é real. Também v^{*} v > 0 pois v\neq 0. Portanto, da igualdade v^{*} A v = \lambda v^{*} v segue que \lambda é real (produto de \lambda por um número real positivo é real, logo \lambda deve ser real). Conclusão: autovalores de matrizes simétricas reais são números reais.
Isso é importante porque trabalhar com autovetores reais e autovalores reais facilita a construção de bases ortogonais.
Passo 4
Outra propriedade importante: autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica são ortogonais.
Prova passo a passo: suponha A é real simétrica e v,w são autovetores correspondendo a autovalores distintos \lambda e \mu, respectivamente:
A v = \lambda v,\qquad A w = \mu w,\qquad \lambda\ne\mu.
Considere o produto interno v^{T} w (aqui, porque tudo é real, uso transposta sem conjugação). Calcule
\lambda v^{T} w = v^{T} (\lambda w) = v^{T} (A w) = (v^{T} A) w = (A^{T} v)^{T} w = (A v)^{T} w = \lambda v^{T} w.
A equação mais direta e usual é:
\lambda v^{T} w = v^{T} A w = v^{T} (\mu w) = \mu v^{T} w.
Subtraindo, (\lambda-\mu) v^{T} w = 0. Como \lambda\ne\mu, segue v^{T} w = 0. Ou seja, v e w são ortogonais.
Esse fato nos dá muitos autovetores ortogonais quando os autovalores são distintos — excelente para diagonalização ortogonal.
Passo 5
Construção por indução de uma base ortonormal de autovetores (prova de diagonalizabilidade de matrizes simétricas). Esta é a parte prática que responde a I.
Objetivo: mostrar que se A=A^{T} (matriz real n\times n), então existe uma base ortonormal de \mathbb{R}^{n} formada por autovetores de A; isto implica que A é diagonalizável (na verdade, ortogonalmente diagonalizável).
Passo da prova por indução sobre n (dimensão):
Base n=1: trivial.
Passo indutivo: suponha verdade para todas as matrizes simétricas de dimensão <n. Seja A simétrica n\times n. Pelo Passo 3, A tem um autovalor real \lambda com autovetor real v\neq 0. Podemos normalizar v para ficar com \|v\|=1. Considere o subespaço ortogonal
V = \{x\in\mathbb{R}^n \mid v^{T} x = 0\},
que tem dimensão n-1. Vou mostrar que V é invariante por A: se x\in V então v^{T} x = 0; calcule
v^{T} (A x) = (A^{T} v)^{T} x = (A v)^{T} x = \lambda v^{T} x = 0.
Logo A x \in V. Portanto a restrição A|_{V} é uma aplicação linear simétrica em V (com a mesma propriedade de simetria quando expressa numa base ortonormal de V). Pelo passo indutivo, existe em V uma base ortonormal formada por autovetores de A. Juntando esses vetores com v obtemos uma base ortonormal de \mathbb{R}^{n} toda formada por autovetores de A. Assim A é ortogonalmente diagonalizável e, em particular, diagonalizável.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira — matrizes reais simétricas são diagonalizáveis (na verdade ortogonalmente diagonalizáveis).
Passo 6
Relação entre diagonalizabilidade e igualdade das multiplicidades (conexão com a afirmação II).
Lembrete: quando uma matriz A é diagonalizável, podemos escrever A = P D P^{-1} com D diagonal. Os autovalores aparecem na diagonal de D, e a multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é exatamente o número de vezes que \lambda aparece na diagonal de D. A multiplicidade geométrica é o número de colunas independentes de P correspondentes a autovetores de \lambda, e no caso de diagonalização essas duas quantidades coincidem (pois D já mostra quantas colunas independentes do mesmo autovalor são necessárias para compor a base). Em outras palavras, diagonalizável ⇒ para cada autovalor \lambda tem-se multiplicidade geométrica = multiplicidade algébrica.
Pelo Passo 5 acabamos de provar que toda matriz simétrica real é diagonalizável. Logo para qualquer autovalor \lambda de uma matriz simétrica M temos multiplicidade algébrica igual à multiplicidade geométrica.
Portanto a afirmativa II também é verdadeira.
Passo 7
Resumo do raciocínio final e reforço (no estilo amigo que te anima):
Mostramos que autovalores de matrizes simétricas são reais e que autovetores de autovalores distintos são ortogonais.
Usando indução construímos uma base ortonormal inteira de autovetores, o que prova que a matriz é ortogonalmente diagonalizável (logo diagonalizável).
Se a matriz é diagonalizável, então para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica.
Assim ambas as afirmativas I e II são verdadeiras. Vai dar certo na prova — guarda esses passos na cabeça: realidade dos autovalores, ortogonalidade dos autovetores distintos, e construção por indução da base ortonormal.