Essa última matriz diagonal é a matriz dos autovalores, que chamaremos de D. Assim obtemos a relação
AM=M D.
Se M for invertível (ou seja, as colunas formam uma base), podemos multiplicar à direita por M^{-1} e obter a fórmula de diagonalização
A = M D M^{-1}.]
Passo 3
Agora identifique D a partir das informações do enunciado. Como o autovalor associado a \vec{v}_{1} é -9 e o associado a \vec{v}_{2} é 7, a matriz diagonal D (na mesma ordem das colunas de M) é
Queremos A^{-1}. Usamos a propriedade do inverso de um produto: para matrizes invertíveis X,Y,Z temos (XYZ)^{-1}=Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}. Aplicando isso a A=M D M^{-1},
A^{-1}=(M D M^{-1})^{-1}=(M^{-1})^{-1} D^{-1} M^{-1}=M D^{-1} M^{-1}.
Portanto, a inversa de A é obtida trocando cada autovalor \lambda por \lambda^{-1} na diagonal.
Passo 5
Calcule D^{-1} tomando o inverso de cada entrada diagonal (isso é válido porque nenhum autovalor é zero):
Agora comparando com as alternativas dadas, essa expressão corresponde exatamente à alternativa (C). As demais alternativas erram por colocarem sinais trocados, recíprocos com sinal errado, ou por invertirem a ordem M e M^{-1}.]