Q17: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são -9 e 7 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}9 & 0 \\\\ 0 & -7\end{array}\right] M^{-1}
(B) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-9 & 0 \\\\ 0 & 7\end{array}\right] M^{-1}
(C) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{9} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{7}\end{array}\right] M^{-1}
(D) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{9} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{7}\end{array}\right] M
(E) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}9 & 0 \\\\ 0 & -7\end{array}\right] M
(F) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-9 & 0 \\\\ 0 & 7\end{array}\right] M

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz essa pergunta.
  • Informações dadas:
    • A é uma matriz 2\times2.
    • Os autovalores de A são -9 e 7, associados, respetivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
    • Foi definida M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right] (ou seja, M tem as autovetores como colunas).
  • Pergunta:
    • Qual das alternativas (A)–(F) representa corretamente A^{-1}?

Passo 2

Primeiro, vamos ver uma identidade importante envolvendo autovetores e autovalores. Se \vec{v}_{i} é autovetor de A com autovalor \lambda_{i}, então
A\vec{v}_{i}=\lambda_{i}\vec{v}_{i}.
Colocando as colunas numa matriz M=\left[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\right], aplicar A a M equivale a aplicar A a cada coluna:
AM=\left[A\vec{v}_{1}\\ A\vec{v}_{2}\right]=\left[\lambda_{1}\vec{v}_{1}\\ \lambda_{2}\vec{v}_{2}\right]=M\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0\\[4pt]0 & \lambda_{2}\end{pmatrix}.
Essa última matriz diagonal é a matriz dos autovalores, que chamaremos de D. Assim obtemos a relação
AM=M D.
Se M for invertível (ou seja, as colunas formam uma base), podemos multiplicar à direita por M^{-1} e obter a fórmula de diagonalização
A = M D M^{-1}.]

Passo 3

Agora identifique D a partir das informações do enunciado. Como o autovalor associado a \vec{v}_{1} é -9 e o associado a \vec{v}_{2} é 7, a matriz diagonal D (na mesma ordem das colunas de M) é
D=\begin{pmatrix}-9 & 0\\[4pt]0 & 7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Queremos A^{-1}. Usamos a propriedade do inverso de um produto: para matrizes invertíveis X,Y,Z temos (XYZ)^{-1}=Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}. Aplicando isso a A=M D M^{-1},
A^{-1}=(M D M^{-1})^{-1}=(M^{-1})^{-1} D^{-1} M^{-1}=M D^{-1} M^{-1}.
Portanto, a inversa de A é obtida trocando cada autovalor \lambda por \lambda^{-1} na diagonal.

Passo 5

Calcule D^{-1} tomando o inverso de cada entrada diagonal (isso é válido porque nenhum autovalor é zero):
D^{-1}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{9} & 0\\[8pt]0 & \dfrac{1}{7}\end{pmatrix}.
Note: -9 invertido é -1/9; 7 invertido é 1/7.]

Passo 6

Juntando os resultados, obtemos
A^{-1}=M D^{-1} M^{-1}=M\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{9} & 0\\[8pt]0 & \dfrac{1}{7}\end{pmatrix}M^{-1}.
Agora comparando com as alternativas dadas, essa expressão corresponde exatamente à alternativa (C). As demais alternativas erram por colocarem sinais trocados, recíprocos com sinal errado, ou por invertirem a ordem M e M^{-1}.]

Resposta

(C)

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