Dada uma variável aleatória contínua X com a função densidade de probabilidade fX(x)=3 x^2 para 0 <= x <= 1 e fX(x)=0 caso contrário, calcule P(0.5 <= X <= 1).

Passo 1

Beleza! A questão é sobre uma variável aleatória contínua fX(x)= 3x^2, & 0 <= x <= 1, 0, & caso contrário cuja densidade de probabilidade é
P(a <= X <= b) ;=; integrala^b fX(x),dx á
O conteúdo aqui é Distribuição Contínua e cálculo de probabilidades via integração da função densidade (PDF). Para resolver a gente vai usar o fato de que, para variáveis contínuas,

Passo 2

Então queremos
P(0.5 <= X <= 1) =integral0.5^1 fX(x),dx =integral0.5^1 3x^2 , dx
Aqui a teoria diz: para encontrar essa probabilidade, basta calcular essa integral definida de até .

Passo 3

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, recorda que a integral de integral x^n ,dx = x^n+1n+1 + C é
integral 3x^2 ,dx = 3 integral x^2 ,dx = 3 cdot x^33 = x^3
No nosso caso, temos . A gente pode tirar o 3 pra fora e integrar :
Então a antiderivada de é simplesmente .

Passo 4

Agora aplica o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando integral0.5^1 3x^2,dx = l[x^3r]0.5^1 = 1^3 - (0.5)^3 = 1 - 18 = 78 entre 0.5 e 1:

Resposta

P(0.5 <= X <= 1) = 78

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