Dada uma variável aleatória X sim N(mu, sigma^2), calcule os valores de: Utilize a propriedade: |X-a|<b Leftrightarrow-b<X-a<b
P(|X-mu| <= 1,5 sigma)

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal N(mu,sigma^2) e pede para calcular
P(|X-mu|<= 1,5,sigma)
O conteúdo aqui é distribuição normal e padronização, e vamos usar a propriedade
|X-mu|<= b;Long<=ftrightarrow;-b<= X-mu<= b
e depois transformar em variável normal padrão.

Passo 2

Aplicando a propriedade ao nosso caso com b=1,5,sigma, temos
P(|X-mu|<= 1,5,sigma) =Pl(-1,5,sigma<= X-mu<= 1,5,sigmar)

Passo 3

Agora definimos a variável padrão
Z=X-musigma,
que satisfaz Zsim N(0,1). Então
-1,5,sigma<= X-mu<= 1,5,sigma Long<=ftrightarrow -1,5<= Z<= 1,5,
e a probabilidade vira
P(-1,5<= Z<= 1,5)

Passo 4

Para a normal padrão temos
P(-1,5<= Z<= 1,5) =Phi(1,5)-Phi(-1,5) =2,Phi(1,5)-1,
onde Phi é a função de distribuição acumulada da N(0,1). Usando tabela ou calculadora, Phi(1,5)approx 0,9332, logo
2times 0,9332 -1 =0,8664

Resposta

P(|X-mu|<= 1,5,sigma)=2,Phi(1,5)-1approx 0,8664

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