Dada uma variável aleatória X sim N(mu, sigma^2), calcule os valores de: Utilize a propriedade: |X-a|<b Leftrightarrow-b<X-a<b
P(|X-mu| <= 2 sigma)

Passo 1

O enunciado fala de uma variável aleatória X que é normalmente distribuída com média mu e variância sigma^2, ou seja, Xsim N(mu,sigma^2). Ele pede
P(|X-mu|<=2sigma)
Para resolver, vamos usar a propriedade
|X-a|<b;Long<=ftrightarrow;-b<X-a<b
e o fato de que, se Z=(X-mu)/sigma, então Zsim N(0,1).

Passo 2

Aplicando a propriedade ao nosso caso com a=mu e b=2sigma, temos
|X-mu|<=2sigma ;Long<=ftrightarrow; -2sigma<= X-mu<=2sigma
Agora dividimos tudo por sigma>0:
-2<=X-musigma<=2

Passo 3

Definindo Z=X-musigma, que é uma normal padrão N(0,1), a probabilidade vira
P(|X-mu|<=2sigma) =P(-2<= Z<=2) =Phi(2)-Phi(-2),
onde Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 4

Usamos a simetria da normal padrão, Phi(-2)=1-Phi(2). Logo
Phi(2)-Phi(-2) =Phi(2)-l(1-Phi(2)r) =2,Phi(2)-1
Consultando a tabela da normal padrão, Phi(2)approx0,97725. Assim
2cdot0,97725-1=1,9545-1=0,9545

Resposta

P(|X-mu|<=2sigma)=0,9545

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