Questão 2 (2.0 pts.) Calcule
, onde
é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles
e
.
Sugestão: Tente a mudança de variáveis
.
Sugestão: Tente a mudança de variáveis
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas, usando a sugestão
Passo 2
Definimos a transformação
Na região
, como
,
Passo 3
Calculamos o jacobiano
. Temos
logo
Portanto
pois
(x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + 4x^2y^2 = v^2+4u^2 .]
Passo 4
No integrando temos
Multiplicando por
e^xy=e^u e pelo fator do elemento de área,
o integrando torna-se
Passo 5
A integral original vira
Calculando
integral3^4v,dv = 4^2-3^22 = 72 ,
ficamos com
ficamos com