Questão 2 (2.0 pts.) Calcule integralD(x^4-y^4) e^x y d A, onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles x y=1, x y=3, x^2-y^2=3 e x^2-y^2=4.
Sugestão: Tente a mudança de variáveis u=x y v=x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaD(x^4-y^4),e^xy,dA,
onde D está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas
xy=1, xy=3, x^2-y^2=3, x^2-y^2=4
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas, usando a sugestão
u = x y, v = x^2-y^2

Passo 2

Definimos a transformação
Tcolon (x,y)mapsto (u,v) = (x y,;x^2-y^2)
Na região D, como x,y>0,
1 <= u <= 3, 3 <= v <= 4

Passo 3

Calculamos o jacobiano J = partial(u,v)partial(x,y). Temos
ux = y, uy = x, vx = 2x, vy = -2y,
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J = dety & x [6pt] 2x & -2y = -2y^2 - 2x^2 = -2,(x^2+y^2)
Portanto
gl|partial(x,y)partial(u,v)gr| = 1|J| = 12,(x^2+y^2) = 12raizv^2+4u^2,
pois (x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + 4x^2y^2 = v^2+4u^2.]

Passo 4

No integrando temos
x^4-y^4 = (x^2-y^2)(x^2+y^2) = v,(x^2+y^2) = v,raizv^2+4u^2
Multiplicando por e^xy=e^u e pelo fator do elemento de área,
dA = l|tfracpartial(x,y)partial(u,v)r|,du,dv = 12raizv^2+4u^2,du,dv,
o integrando torna-se
v,raizv^2+4u^2;e^u ;times; 12raizv^2+4u^2 ;=; v2,e^u

Passo 5

A integral original vira
integralu=1^3!integralv=3^4 v2,e^u,dv,du = integral1^3e^ul[tfrac12!integral3^4v,dvr]du
Calculando integral3^4v,dv = 4^2-3^22 = 72,
ficamos com
integral1^3e^u,12,72,du = 74integral1^3e^u,du = 74l[e^ur]1^3 = 74l(e^3-er)

Resposta

74l(e^3-er)

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