Dada uma variável aleatória X sim N(mu, sigma^2), calcule os valores de: Utilize a propriedade: |X-a|<b Leftrightarrow-b<X-a<b
P(|X-mu|>3 sigma)

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal de média mu e variância sigma^2, isto é, Xsim N(mu,sigma^2). Precisamos calcular
Pl(|X-mu|>3sigmar)
Para isso, vamos usar a ideia de padronizar X e a propriedade
|X-mu|<3sigma ;Leftrightarrow;-3sigma<X-mu<3sigma

Passo 2

Primeiro escrevemos o evento complementar e usamos a relação de probabilidade complementar:
Pl(|X-mu|>3sigmar) =1-Pl(|X-mu|<=3sigmar)

Passo 3

Pelo enunciado,
Pl(|X-mu|<=3sigmar) =Pl(-3sigma <= X-mu <=3sigmar)
Agora padronizamos definindo
Z=X-musigmasim N(0,1)
Então
-3sigma <= X-mu <=3sigma ;Long<=ftrightarrow; -3 <= X-musigma<=3 ;Long<=ftrightarrow; -3<= Z<=3

Passo 4

Usando a função de distribuição acumulada Phi da normal padrão,
P(-3<= Z<=3) =Phi(3)-Phi(-3)
E sabemos que Phi(-3)=1-Phi(3). Logo
Phi(3)-Phi(-3) =Phi(3)-l(1-Phi(3)r) =2,Phi(3)-1

Passo 5

Voltando à probabilidade original:
Pl(|X-mu|>3sigmar) =1-l(2,Phi(3)-1r) =2l(1-Phi(3)r) =2,Phi(-3)
Numericamente, como Phi(3)approx0,99865,
Pl(|X-mu|>3sigmar) approx2,(1-0,99865) approx0,0027

Resposta

P(|X-mu|>3sigma)=2l(1-Phi(3)r)approx0,0027

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