Dada x^{2}-y^{2}+\cos x y=0, determine y'

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^2 - y^2 + \cos(xy) = 0
e pede a derivada y' = \frac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita, o que envolve regras de derivação de potências, produto e cadeia.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo, cada termo dá:
\frac{d}{dx}(x^2)=2x, \quad \frac{d}{dx}(-y^2)=-2y\,y',
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(xy)\bigr) =-\sin(xy)\,\frac{d}{dx}(xy) =-\sin(xy)\bigl(y + x\,y'\bigr).
Como o lado direito é constante 0, sua derivada é zero. Logo,
2x - 2y\,y' - \sin(xy)\bigl(y + x\,y'\bigr)=0.

Passo 3

Expandimos e agrupamos os termos que contêm y':
2x - 2y\,y' - y\,\sin(xy) - x\,y'\,\sin(xy)=0 \;\Longrightarrow\; 2x - y\,\sin(xy) - y'\bigl(2y + x\,\sin(xy)\bigr)=0.

Passo 4

Isolamos y':
-y'\bigl(2y + x\,\sin(xy)\bigr) = -2x + y\,\sin(xy) \;\Longrightarrow\; y'=\frac{2x - y\,\sin(xy)}{2y + x\,\sin(xy)}.

Resposta

y' = \frac{2x - y\,\sin(xy)}{2y + x\,\sin(xy)}.

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