\int \mathrm{s} \mathrm{K} . \mathrm{ds}= ?
\mathrm{K}=\left(1,1, \mathrm{z}\left[\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right]^{2}\right)
S é a superfície do sólido x^{2}+y^{2} \leq 1
0 \leq z \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\displaystyle \iint_{S}\mathbf K\cdot d\mathbf S
através da superfície fechada S do sólido definido por
x^{2}+y^{2}\le1,\quad 0\le z\le1,
onde
\mathbf K=(1,1,\;z\,(x^{2}+y^{2})^{2}).
Para superfícies fechadas, o Teorema da Divergência (ou Gauss) diz que
\iint_{S}\mathbf K\cdot d\mathbf S =\iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf K\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf K:
\nabla\!\cdot\!\mathbf K =\frac{\partial}{\partial x}(1) +\frac{\partial}{\partial y}(1) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z\,(x^{2}+y^{2})^{2}\bigr) =0+0+(x^{2}+y^{2})^{2}.

Passo 3

O fluxo vira
\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})^{2}\,dV,
com V\colon x^{2}+y^{2}\le1,\;0\le z\le1.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) temos x^{2}+y^{2}=r^{2} e dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Então
\iiint_{V}(r^{2})^{2}\,r\,dr\,d\theta\,dz =\int_{z=0}^{1}\!\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\!\int_{r=0}^{1}r^{4}\,r\,dr\,d\theta\,dz.
O integral separa-se em
\Bigl(\int_{z=0}^{1}dz\Bigr) \Bigl(\int_{\theta=0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{r=0}^{1}r^{5}dr\Bigr) =1\cdot2\pi\cdot\frac{1}{6} =\frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

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