F=\left(l^{x} \operatorname{sen} y, l^{x} \cos y, z^{2}\right)
\int_{\mathrm{O}} \mathrm{F} . \mathrm{dl}=? \quad \mathrm{O} é parametrizado por \mathrm{O}(\mathrm{t})=\left(\sqrt{t}, t^{3}, \mid \wedge \sqrt{t}\right) \quad 0 \leq \mathrm{t} \leq 1

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=\bigl(e^{x}\operatorname{sen} y,\;e^{x}\cos y,\;z^{2}\bigr)
e a curva O parametrizada por
O(t)=\bigl(\sqrt{t},\,t^{3},\,t\sqrt{t}\bigr),\quad 0\le t\le1.
Pede-se calcular
\int_{O}F\cdot dl.
O conteúdo é campos conservativos e o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Verificamos que F é campo conservativo porque existem uma função potencial f(x,y,z) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x}\operatorname{sen} y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=e^{x}\cos y,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=z^{2}.
Integrando em partes:
f(x,y,z)=\int e^{x}\operatorname{sen} y\,dx =e^{x}\operatorname{sen} y+\varphi(y,z).
Como \partial_y f=e^{x}\cos y+\partial_y\varphi deve ser e^{x}\cos y, segue \partial_y\varphi=0. Logo \varphi=\psi(z).
E como \partial_z f=\psi'(z)=z^{2}, integra-se dando
\psi(z)=\frac{z^{3}}{3}+C.
Podemos tomar C=0. Assim a potencial é
f(x,y,z)=e^{x}\operatorname{sen} y+\frac{z^{3}}{3}.

Passo 3

Pelo teorema fundamental das integrais de linha,
\int_{O}F\cdot dl =f\bigl(O(1)\bigr)-f\bigl(O(0)\bigr).
Aqui O(1)=(1,1,1) e O(0)=(0,0,0). Então
f(1,1,1)=e^{1}\operatorname{sen}(1)+\frac{1^{3}}{3}=e\sen1+\frac{1}{3},
f(0,0,0)=e^{0}\operatorname{sen}(0)+\frac{0^{3}}{3}=0.
Logo
\int_{O}F\cdot dl =e\sen1+\frac{1}{3}.

Resposta

e\sen1+\frac{1}{3}

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