Dadas as funções a seguir, determine f(x) e g(x) de modo que as funções possam ser escritas como y=f(g(x)). [Lembrete: Podem existir mais de uma maneira de decomposição das funções.]
y=(x+2)^{3}+1

Passo 1

O enunciado pede para escrever
y=(x+2)^{3}+1
na forma de composição
y = f(g(x)),
isto é, achar duas funções f e g tais que, ao substituir u=g(x) em f(u), obtenhamos exatamente (x+2)^3+1. O conteúdo é decomposição de função ou escrita de funções compostas.

Passo 2

Observe que a expressão pode ser vista em dois estágios: primeiro soma-se 2 a x e depois eleva-se ao cubo e, por fim, adiciona-se 1. Uma maneira natural de separar é:
g(x) = x + 2,
f(u) = u^3 + 1.
De fato,
f\bigl(g(x)\bigr) = f(x+2) = (x+2)^3 + 1,
que coincide com a função dada.

Passo 3

Outra maneira é primeiro fazer todo o cubo e depois somar 1. Para isso, defina:
g(x) = (x+2)^3,
f(u) = u + 1.
Então
f\bigl(g(x)\bigr) = f\bigl((x+2)^3\bigr) = (x+2)^3 + 1,
que também reconstrói a função original.

Resposta

Uma decomposição possível é g(x)=x+2 e f(u)=u^3+1.
Outra é g(x)=(x+2)^3 e f(u)=u+1.

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