Dadas f, g:[0, infty) R o produto de convolução de f e g é a função
(f * g)(x)=integral0^x f(t) g(x-t) d t
Pode-se mostrar que L[f * g]=L[f] L[g].
(a) Calcule L[12(s-1)(s-3)] e L[1s(s^2+1)].

Passo 1

O enunciado pede para calcular as transformadas inversas de duas funções racionais em s, usando a propriedade de convolução e as tabelas básicas de \ Laplace. Vamos precisar de frações parciais e das fórmulas L^-11/(s - a) = e^at, L^-11/s = 1 e L^-1s/(s^2+1) = cos t.

Passo 2

Começando por \frac{12}{(s - 1)(s - 3)}:\
Fazemos frações parciais: $$
\frac{12}{(s-1)(s-3)} = \\frac{A}{s-1} + \\frac{B}{s-3}.
$$
Multiplicando em comum denom., obtemos $$
A(s-3) + B(s-1) = 12.
$$
Igualando coeficientes: para 12(s-1)(s-3) = As-1 + Bs-3 vem A(s-3) + B(s-1) = 12 e o termo constante dá s. Resolvendo, A + B = 0, -3A - B = 12. Logo, $$
\frac{12}{(s-1)(s-3)} = \\frac{6}{s-1} - \\frac{6}{s-3}.
$$
Aplicando A = 6,
$$
f_1(t) = 6e^{t} - 6e^{3t}.
$$

Passo 3

Agora para \frac{1}{s(s^2+1)}:\
Fração parcial: $$
\frac{1}{s(s^2+1)} = \\frac{A}{s} + \\frac{Bs + C}{s^2+1}.
$$
Multiplicando: $$
A(s^2+1) + (Bs + C)s = 1.
$$
Expandindo, $$(A + B)s^2 + Cs + A = 1.
$$
Igualando a 1s(s^2+1) = As + Bs + Cs^2+1 vem A(s^2+1) + (Bs + C)s = 1 , (A + B)s^2 + Cs + A = 1 , 0s^2 + 0s + 1. Logo A + B = 0 e
$$
\frac{1}{s(s^2+1)} = \\frac{1}{s} - \\frac{s}{s^2+1}.
$$
Aplicando C = 0:
$$
f_2(t) = 1 - \cos t.
$$

Resposta

As transformadas inversas são $\mathcal L^{-1}{\tfrac{12}{(s-1)(s-3)}} = 6e^{t} - 6e^{3t}$ e $\mathcal L{-1}{\tfrac{1}{s(s2+1)}} = 1 - \cos t$.

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