Dadas
o produto de convolução de
e
é a função
Pode-se mostrar que
.
(a) Calcule
e
.
(a) Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular as transformadas inversas de duas funções racionais em s, usando a propriedade de convolução e as tabelas básicas de \ Laplace. Vamos precisar de frações parciais e das fórmulas
,
e
.
Passo 2
Começando por \frac{12}{(s - 1)(s - 3)}:\
Fazemos frações parciais: $$
\frac{12}{(s-1)(s-3)} = \\frac{A}{s-1} + \\frac{B}{s-3}.
$$
\frac{12}{(s-1)(s-3)} = \\frac{A}{s-1} + \\frac{B}{s-3}.
$$
Multiplicando em comum denom., obtemos $$
A(s-3) + B(s-1) = 12.
$$
A(s-3) + B(s-1) = 12.
$$
Igualando coeficientes: para
vem
e o termo constante dá
. Resolvendo,
,
. Logo, $$
\frac{12}{(s-1)(s-3)} = \\frac{6}{s-1} - \\frac{6}{s-3}.
$$
\frac{12}{(s-1)(s-3)} = \\frac{6}{s-1} - \\frac{6}{s-3}.
$$
Aplicando
,
$$
f_1(t) = 6e^{t} - 6e^{3t}.
$$
f_1(t) = 6e^{t} - 6e^{3t}.
$$
Passo 3
Agora para \frac{1}{s(s^2+1)}:\
Fração parcial: $$
\frac{1}{s(s^2+1)} = \\frac{A}{s} + \\frac{Bs + C}{s^2+1}.
$$
\frac{1}{s(s^2+1)} = \\frac{A}{s} + \\frac{Bs + C}{s^2+1}.
$$
Multiplicando: $$
A(s^2+1) + (Bs + C)s = 1.
$$
A(s^2+1) + (Bs + C)s = 1.
$$
Expandindo, $$(A + B)s^2 + Cs + A = 1.
$$
Igualando a vem
,
,
. Logo
e
$$
Igualando a
$$
\frac{1}{s(s^2+1)} = \\frac{1}{s} - \\frac{s}{s^2+1}.
$$
Aplicando :
$$
Aplicando
$$
f_2(t) = 1 - \cos t.
$$
Resposta
As transformadas inversas são $\mathcal L^{-1}{\tfrac{12}{(s-1)(s-3)}} = 6e^{t} - 6e^{3t}$ e $\mathcal L{-1}{\tfrac{1}{s(s2+1)}} = 1 - \cos t$.