Dadas f(x)=x^{2}+1, g(x)=\sqrt{x} e h(x)=1 /(x-1), determine, com domínio, (f \circ g \circ h)(x), (h \circ f \circ g)(x) e (g \circ h \circ f)(x).
27. Encontre duas decomposições diferentes, com funções não constantes f e g, tais que
(f \circ g)(x)=\frac{1}{x^{2}+1}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Funções fornecidas:
    • f(x)=x^{2}+1. Domínio: todos os reais, isto é, \mathbb{R}.
    • g(x)=\sqrt{x}. Domínio: [0,\infty).
    • h(x)=\dfrac{1}{x-1}. Domínio: \mathbb{R}\setminus\{1\}.
O enunciado pede:
  1. Determinar, com domínio, (f\circ g\circ h)(x), (h\circ f\circ g)(x) e (g\circ h\circ f)(x).
  2. (Item 27) Encontrar duas decomposições diferentes, com funções não constantes f e g, tais que (f\circ g)(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}.

Passo 2

Regra geral sobre composição de funções (explicação didática):
Para compor F=F_1\circ F_2\circ F_3 avalia-se na ordem interna primeiro: F(x)=F_1(F_2(F_3(x))). O domínio da composição é o conjunto de x tais que:
  • x pertence ao domínio da função mais interna;
  • a imagem dessa função está no domínio da próxima função;
  • e assim por diante até a função externa.
Vou aplicar isso passo a passo em cada composição, resolvendo explicitamente as condições de domínio (como desigualdades e exclusões) e simplificando as expressões.

Passo 3

Cálculo de (f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(g(h(x))\bigr).
  1. Primeiro, h(x)=\dfrac{1}{x-1}. Condição inicial: x\neq1 (domínio de h).
  2. Para podermos aplicar g sobre h(x) precisamos de h(x)\in[0,\infty), ou seja: \frac{1}{x-1}\ge 0.Como o numerador 1>0, a fração é \ge0 exatamente quando o denominador x-1>0. (A fração nunca é zero porque numerador é 1.)
    Logo a condição é x-1>0, isto é x>1. Isso já garante x\neq1.
    Portanto a condição para g(h(x)) existir é x>1.
  3. Calcule g(h(x)) para x>1: g(h(x))=\sqrt{\frac{1}{x-1}}=\frac{1}{\sqrt{x-1}}.Aqui usei que para x>1 temos x-1>0 e a raiz quadrada é bem-definida (raiz positiva).
  4. Agora apliquei f a esse resultado: f\bigl(g(h(x))\bigr)=\left(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\right)^{2}+1=\frac{1}{x-1}+1.Simplificando a soma de frações: \frac{1}{x-1}+1=\frac{1+(x-1)}{x-1}=\frac{x}{x-1}.
  5. Conclusão para esta composição: a expressão simplificada é \dfrac{x}{x-1} e o domínio é x>1.

Passo 4

Cálculo de (h\circ f\circ g)(x)=h\bigl(f(g(x))\bigr).
  1. Primeiro, g(x)=\sqrt{x}. Para existir, precisamos de x\in[0,\infty).
  2. Em seguida, f(g(x))=(\sqrt{x})^{2}+1=x+1. Essa expressão está bem-definida para todo x\ge0.
  3. Agora aplicamos h em f(g(x)). Como h(u)=\dfrac{1}{u-1}, precisamos que u\neq1. Aqui u=f(g(x))=x+1. Então exigimos: x+1\neq 1 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 0.Levando em conta x\ge0 (da etapa 1), obtemos o domínio x>0.
  4. Para x>0 temos: h(f(g(x)))=\frac{1}{(x+1)-1}=\frac{1}{x}.
  5. Conclusão para esta composição: a expressão é \dfrac{1}{x} e o domínio é x>0.

Passo 5

Cálculo de (g\circ h\circ f)(x)=g\bigl(h(f(x))\bigr).
  1. Primeiro, f(x)=x^{2}+1. Domínio: todos os reais \mathbb{R}.
  2. A seguir h exige que o seu argumento não seja 1. Logo precisamos de f(x)\neq 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+1\neq 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 0.Portanto antes de aplicar g já restringimos x\neq0.
  3. Para x\neq0 calculamos h(f(x))=\frac{1}{(x^{2}+1)-1}=\frac{1}{x^{2}}.Observação: x^{2}>0 para x\neq0, então \dfrac{1}{x^{2}}>0.
  4. Agora aplicamos g(u)=\sqrt{u} a u=\dfrac{1}{x^{2}}. Como u>0, a raiz está bem-definida e g\bigl(h(f(x))\bigr)=\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}.Lembre que \sqrt{a^{2}}=|a| para a\in\mathbb{R}. Aqui a=\dfrac{1}{x}, então \sqrt{\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{|x|}.
  5. Conclusão para esta composição: a expressão é \dfrac{1}{|x|} e o domínio é x\neq 0.

Passo 6

Resolvendo o Item 27 — encontrar duas decomposições não-triviais de
(f\circ g)(x)=\frac{1}{x^{2}+1}.
Estratégia didática: procurar uma função g(x) simples cujo resultado transforme x de modo que aplicando depois uma função f simples se obtenha \dfrac{1}{x^{2}+1}. Duas escolhas naturais:
  1. Escolha g_{1}(x)=x^{2} (não constante). Então se definirmos
    f_{1}(u)=\frac{1}{u+1},
    temos
    f_{1}\bigl(g_{1}(x)\bigr)=\frac{1}{x^{2}+1}.
    Verificação de domínio: g_{1} é definido \forall x. f_{1}(u) exige u\neq -1, mas u=x^{2}\ge0, então u=-1 nunca ocorre; logo a composição está definida \forall x. Ambas f_{1} e g_{1} são não constantes.
  2. Outra escolha simples: g_{2}(x)=x^{2}+1 (não constante) e
    f_{2}(u)=\frac{1}{u}.
    Então
    f_{2}\bigl(g_{2}(x)\bigr)=\frac{1}{x^{2}+1}.
    Verificação de domínio: g_{2}(x)\ge1, logo u=0 não ocorre e f_{2} está bem definida sobre a imagem de g_{2}. De novo, ambas as funções são não constantes.
Portanto temos duas decomposições diferentes com f e g não constantes.

Passo 7

Resumo final e um empurrãozinho motivacional: composições exigem atenção ao domínio em cada etapa — sempre cheque que a imagem interna caiba no domínio da função seguinte. Vai dar certo na prova; respira, faz passo a passo como aqui e evita erros por pular condições.

Resposta

(f\circ g\circ h)(x)=\dfrac{x}{x-1}, domínio: x>1\n
(h\circ f\circ g)(x)=\dfrac{1}{x}, domínio: x>0\n
(g\circ h\circ f)(x)=\dfrac{1}{|x|}, domínio: x\neq 0\n
Duas decomposições para \dfrac{1}{x^{2}+1}: f_{1}(u)=\dfrac{1}{u+1},\\ g_{1}(x)=x^{2} e f_{2}(u)=\dfrac{1}{u},\\ g_{2}(x)=x^{2}+1.

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