Dadas
e
, determine, com domínio,
,
e
.
27. Encontre duas decomposições diferentes, com funções não constantes
e
, tais que
27. Encontre duas decomposições diferentes, com funções não constantes
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Funções fornecidas:
-
. Domínio: todos os reais, isto é, . -
. Domínio: . -
. Domínio: .
-
O enunciado pede:
- Determinar, com domínio,
, e . - (Item 27) Encontrar duas decomposições diferentes, com funções não constantes
e , tais que .
Passo 2
Regra geral sobre composição de funções (explicação didática):
Para compor avalia-se na ordem interna primeiro:
. O domínio da composição é o conjunto de
tais que:
Para compor
-
pertence ao domínio da função mais interna; - a imagem dessa função está no domínio da próxima função;
- e assim por diante até a função externa.
Vou aplicar isso passo a passo em cada composição, resolvendo explicitamente as condições de domínio (como desigualdades e exclusões) e simplificando as expressões.
Passo 3
Cálculo de
.
- Primeiro,
. Condição inicial: (domínio de ). - Para podermos aplicar
sobre precisamos de , ou seja: Como o numerador , a fração é exatamente quando o denominador . (A fração nunca é zero porque numerador é 1.)
Logo a condição é, isto é . Isso já garante .
Portanto a condição paraexistir é . - Calcule
para : Aqui usei que para temos e a raiz quadrada é bem-definida (raiz positiva). - Agora apliquei
a esse resultado: Simplificando a soma de frações: - Conclusão para esta composição: a expressão simplificada é
e o domínio é .
Passo 4
Cálculo de
.
- Primeiro,
. Para existir, precisamos de . - Em seguida,
. Essa expressão está bem-definida para todo . - Agora aplicamos
em . Como , precisamos que . Aqui . Então exigimos: Levando em conta (da etapa 1), obtemos o domínio . - Para
temos: - Conclusão para esta composição: a expressão é
e o domínio é .
Passo 5
Cálculo de
.
- Primeiro,
. Domínio: todos os reais . - A seguir
exige que o seu argumento não seja . Logo precisamos de Portanto antes de aplicar já restringimos . - Para
calculamos Observação: para , então . - Agora aplicamos
a . Como , a raiz está bem-definida e Lembre que para . Aqui , então - Conclusão para esta composição: a expressão é
e o domínio é .
Passo 6
Resolvendo o Item 27 — encontrar duas decomposições não-triviais de
Estratégia didática: procurar uma função
simples cujo resultado transforme
de modo que aplicando depois uma função
simples se obtenha
. Duas escolhas naturais:
-
Escolha
(não constante). Então se definirmos temosVerificação de domínio:é definido . exige , mas , então nunca ocorre; logo a composição está definida . Ambas e são não constantes. -
Outra escolha simples:
(não constante) e EntãoVerificação de domínio:, logo não ocorre e está bem definida sobre a imagem de . De novo, ambas as funções são não constantes.
Portanto temos duas decomposições diferentes com
e
não constantes.
Passo 7
Resumo final e um empurrãozinho motivacional: composições exigem atenção ao domínio em cada etapa — sempre cheque que a imagem interna caiba no domínio da função seguinte. Vai dar certo na prova; respira, faz passo a passo como aqui e evita erros por pular condições.
Resposta
Duas decomposições para