Encontre funções
e
tais que
Determine o domínio da composição.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar funções
e tais que . - Determinar o domínio da composição
.
Informações dadas:
- A composição desejada é a função real
igual à raiz quadrada principal de , isto é, . - Não há outras restrições explícitas no enunciado (posso escolher a forma de
e desde que a composição coincida com ).
Passo 2
Entendendo o que é composição de funções (aula rápida e prática).
- Por definição, a composição
significa aplicar primeiro a e depois aplicar ao resultado de . Em notação:
- Uma forma natural de obter
é escolher de modo que reproduza a expressão dentro da raiz, e escolher como a operação “tomar raiz quadrada”. Ou seja, se eu definir e (aqui usei a variável como entrada de ), então
que é exatamente o que queremos. Essa é a escolha mais simples e direta.
Passo 3
Escolhendo explicitamente as funções e verificando a composição.
- Definições:
- Agora faço a composição passo a passo:
Portanto essas
e
satisfazem a condição do enunciado.
Passo 4
Aula prática sobre domínio de composição (regra geral).
- Regra importante: o domínio de
é o conjunto de todos os que pertencem ao domínio de e tal que pertence ao domínio de . - Em símbolos: se
é o domínio de e é o domínio de , então
Passo 5
Aplicando a regra aos
e
escolhidos.
- Primeiro identifique os domínios individuais:
- Para
, é um polinômio (reta) e está definida para todo número real. Logo
- Para
(raiz quadrada principal com valores reais), o argumento precisa ser maior ou igual a zero. Logo
- Para
- Agora imponho a condição
, ou seja . Escrevo e resolvo a desigualdade:
Resolver passo a passo:
(dividindo ambos os lados por
; como
, a desigualdade mantém o sentido)
- Portanto a composição está definida exatamente para os
tais que . Em notação de intervalo:
- Observação didática: o ponto
está incluído porque para esse valor e (a raiz quadrada de zero é ), portanto a composição vale .
Passo 6
Resumo final e pequeno reforço (como usar isso na prova).
- Estratégia rápida que costuma cair em prova: sempre identifique a “parte interna” da expressão (aqui
) e ponha-a como . Depois é a operação externa (aqui ). Em seguida aplique a regra do domínio: resolva . - Se na prova aparecer algo parecido, repita estes três passos: (1) escolha
igual à parte interna, (2) escolha como a operação externa, (3) imponha as restrições de domínio de sobre e resolva.