Encontre funções f e g tais que
(f \circ g)(x)=\sqrt{3 x-5}
Determine o domínio da composição.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar funções f e g tais que (f\circ g)(x)=\sqrt{3x-5}.
  • Determinar o domínio da composição (f\circ g).
Informações dadas:
  • A composição desejada é a função real (f\circ g)(x) igual à raiz quadrada principal de 3x-5, isto é, \sqrt{3x-5}.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado (posso escolher a forma de f e g desde que a composição coincida com \sqrt{3x-5}).

Passo 2

Entendendo o que é composição de funções (aula rápida e prática).
  • Por definição, a composição (f\circ g)(x) significa aplicar primeiro g a x e depois aplicar f ao resultado de g. Em notação:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
  • Uma forma natural de obter \sqrt{3x-5} é escolher g(x) de modo que g(x) reproduza a expressão dentro da raiz, e escolher f como a operação “tomar raiz quadrada”. Ou seja, se eu definir g(x)=3x-5 e f(t)=\sqrt{t} (aqui usei a variável t como entrada de f), então
f\bigl(g(x)\bigr)=\sqrt{\,g(x)\,}=\sqrt{3x-5},
que é exatamente o que queremos. Essa é a escolha mais simples e direta.

Passo 3

Escolhendo explicitamente as funções e verificando a composição.
  • Definições:
g(x)=3x-5, \qquad f(t)=\sqrt{t}.
  • Agora faço a composição passo a passo:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=f(3x-5)=\sqrt{3x-5}.
Portanto essas f e g satisfazem a condição do enunciado.

Passo 4

Aula prática sobre domínio de composição (regra geral).
  • Regra importante: o domínio de (f\circ g) é o conjunto de todos os x que pertencem ao domínio de g e tal que g(x) pertence ao domínio de f.
  • Em símbolos: se \operatorname{dom}(g) é o domínio de g e \operatorname{dom}(f) é o domínio de f, então
\operatorname{dom}(f\circ g)=\{\,x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\,\}.

Passo 5

Aplicando a regra aos f e g escolhidos.
  • Primeiro identifique os domínios individuais:
    • Para g(x)=3x-5, g é um polinômio (reta) e está definida para todo número real. Logo
    \operatorname{dom}(g)=(-\infty,\infty).
    • Para f(t)=\sqrt{t} (raiz quadrada principal com valores reais), o argumento precisa ser maior ou igual a zero. Logo
    \operatorname{dom}(f)=[0,\infty).
  • Agora imponho a condição g(x)\in\operatorname{dom}(f), ou seja g(x)\ge 0. Escrevo e resolvo a desigualdade:
3x-5\ge 0.
Resolver passo a passo:
3x\ge 5
(dividindo ambos os lados por 3; como 3>0, a desigualdade mantém o sentido)
x\ge \tfrac{5}{3}.
  • Portanto a composição está definida exatamente para os x tais que x\ge \tfrac{5}{3}. Em notação de intervalo:
\operatorname{dom}(f\circ g)=\bigl[\tfrac{5}{3},\infty\bigr).
  • Observação didática: o ponto x=\tfrac{5}{3} está incluído porque para esse valor g\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)=0 e f(0)=0 (a raiz quadrada de zero é 0), portanto a composição vale (f\circ g)\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)=0.

Passo 6

Resumo final e pequeno reforço (como usar isso na prova).
  • Estratégia rápida que costuma cair em prova: sempre identifique a “parte interna” da expressão (aqui 3x-5) e ponha-a como g(x). Depois f é a operação externa (aqui \sqrt{\;\cdot\;}). Em seguida aplique a regra do domínio: resolva g(x)\in\operatorname{dom}(f).
  • Se na prova aparecer algo parecido, repita estes três passos: (1) escolha g igual à parte interna, (2) escolha f como a operação externa, (3) imponha as restrições de domínio de f sobre g(x) e resolva.

Resposta

f(t)=\sqrt{t},\quad g(x)=3x-5
\operatorname{dom}(f\circ g)=\bigl[\tfrac{5}{3},\infty\bigr)

Exercícios relacionados