Dadas as análises de peneiramento da alimentação e das frações obtidas em peneiras de 10 e 28 malhas, determinar a eficiência dessas peneiras. Sendo de 5250 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} o fluxo de alimentação, determine os fluxos de produto (fração média) e rejeitos (frações grossa e fina).
Peneira (malha) Alimentação Fração Grossa Fração Média Fração Fina
4/6 0,0127 0,0980
6/8 0,0223 0,1373 0,0141
8/10 0,0674 0,4118 0,0444
10/14 0,1170 0,2647 0,1697 0,0526
14/20 0,2085 0,0882 0,4121 0,1213
20/28 0,2206 0,2505 0,2551
28/35 0,1729 0,1091 0,2494
35/48 0,1170 0,2105
48/65 0,0464 0,0835
65/100 0,0153 0,0275

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Determinar a eficiência das peneiras de 10 e 28 malhas (ou seja, avaliar quão bem cada peneira separa as partículas maiores das menores).
  2. Com a vazão de alimentação igual a 5250\\ \mathrm{kg/h}, calcular os fluxos de massa das três correntes de saída: rejeito grosso (fração grossa), produto (fração média) e rejeito fino (fração fina).
Informações dadas (retiradas da tabela):
  • A coluna “Alimentação” é a distribuição de partículas por classes de malhas; soma total é 1{,}0001 (arredondamento) — ou seja, representa a fração relativa (por massa) de cada classe na alimentação.
  • As colunas “Fração Grossa”, “Fração Média” e “Fração Fina” são as distribuições granulométricas (PSD) das três correntes de saída: cada coluna soma 1{,}0 (são as frações, dentro daquela corrente, que pertencem a cada classe de malha).
  • Cada classe de malha i da alimentação (fração f_i) é repartida entre as três correntes; portanto, para cada i,
f_i = G\cdot g_i + M\cdot m_i + S\cdot s_i,
onde G,M,S são as frações de massa (relativas à alimentação) das correntes grossa, média e fina respectivamente, e g_i,m_i,s_i são os números da tabela (frações dentro das correntes).
  • Objetivo imediato: determinar G,M,S (frações por massa das correntes) e então os fluxos em kg/h multiplicando por 5250\\ \mathrm{kg/h}. Depois usar essas informações para calcular as eficiências das peneiras de 10 e 28 malhas.

Passo 2

Entendimento matemático e estratégia para obter G,M,S (explicando didaticamente):
  • Cada coluna de saída (grossa, média, fina) nos dá a composição da corrente: por exemplo, a fração 0{,}0980 na coluna “Fração Grossa” para a classe 4/6 significa que 9{,}80\% da massa da corrente grossa é composta por partículas da classe 4/6.
  • Se G é a fração da alimentação que vai para a corrente grossa (em massa relativa), então a contribuição absoluta da classe i à corrente grossa é G\cdot g_i.
  • A equação global por classe é f_i = G g_i + M m_i + S s_i. Temos uma equação por classe; mas só três incógnitas G,M,S. Felizmente a tabela tem classes nas quais apenas uma das colunas tem valor não nulo — isso permite resolver diretamente G e S e, por soma, obter M.

Passo 3

Cálculo de G usando uma classe que aparece apenas na coluna “Fração Grossa”:
  • Observe a classe 4/6: na tabela f_{4/6} = 0{,}0127 e, para essa classe, g_{4/6} = 0{,}0980, m_{4/6}=0, s_{4/6}=0.
    Portanto:
0{,}0127 = G\cdot 0{,}0980 \quad\Rightarrow\quad G = \frac{0{,}0127}{0{,}0980}.
  • Calcule:
G = 0{,}1295918367\approx 0{,}12959.
Explicação rápida: escolhemos essa classe porque só a corrente grossa contém partículas dessa classe — daí podemos isolar G imediatamente.

Passo 4

Cálculo de S usando uma classe que aparece apenas na coluna “Fração Fina”:
  • Observe a classe 65/100: f_{65/100} = 0{,}0153 e s_{65/100} = 0{,}0275, com g_{65/100}=m_{65/100}=0.
    Logo:
0{,}0153 = S\cdot 0{,}0275 \quad\Rightarrow\quad S=\frac{0{,}0153}{0{,}0275}.
  • Calcule:
S = 0{,}5563636364\approx 0{,}55636.

Passo 5

Cálculo de M por complemento e verificação:
  • Sabendo que as três frações somam 1 (toda a alimentação é repartida entre as três correntes),
M = 1 - G - S.
  • Substituindo:
M = 1 - 0{,}1295918367 - 0{,}5563636364 = 0{,}3140445269\approx 0{,}31404.
  • Verificação rápida usando uma classe com contribuições em várias colunas (por exemplo 6/8, onde f=0{,}0223, g=0{,}1373, m=0{,}0141, s=0):
Gg + Mm + Ss = 0{,}1295918\cdot 0{,}1373 + 0{,}3140445\cdot 0{,}0141 + 0\approx 0{,}02221\approx 0{,}0223,
o que confirma consistência numérica (diferenças pequenas por arredondamento).

Passo 6

Converter G,M,S em fluxos de massa (kg/h):
  • A vazão de alimentação é F = 5250\\ \mathrm{kg/h}.
  • Fluxo rejeito grosso:
\dot{G} = G\cdot F = 0{,}1295918367\cdot 5250 \approx 680{,}357\\ \mathrm{kg/h}.
  • Fluxo produto (fração média):
\dot{M} = M\cdot F = 0{,}3140445269\cdot 5250 \approx 1648{,}734\\ \mathrm{kg/h}.
  • Fluxo rejeito fino:
\dot{S} = S\cdot F = 0{,}5563636364\cdot 5250 \approx 2920{,}909\\ \mathrm{kg/h}.
(Confirmação: 680{,}357 + 1648{,}734 + 2920{,}909 \approx 5250\\ \mathrm{kg/h}.)

Passo 7

Definição e método para calcular a eficiência de uma peneira (didática):
  • Para uma peneira que separa em um ponto de malha m, chamamos:
    • “oversize” (O) = fração da alimentação com partículas maiores que a malha m (isto é, que deveriam ser retidas por aquela peneira);
    • “undersize” (U) = fração da alimentação com partículas menores que a malha m (isto é, que deveriam passar pela peneira).
  • Para avaliar a peneira usamos dois indicadores úteis:
    1. Eficiência de retenção do oversize (retenção correta):
    \eta_O = \frac{\text{massa de oversize que realmente foi retida (ficou nas correntes retidas)}}{\text{massa total de oversize na alimentação}}.çã
    1. Eficiência de passagem do undersize (passagem correta):
    \eta_U = \frac{\text{massa de undersize que realmente passou (foi para as correntes de passagem)}}{\text{massa total de undersize na alimentação}}.çã
  • Além disso podemos definir a eficiência global de classificação da peneira como a fração da alimentação que foi corretamente classificada por ela:
\eta_{\text{global}} = 1 - \frac{\text{soma das massas mal posicionadas}}{\text{massa total da alimentação}}.çã
  • Para aplicar, devemos identificar quais classes pertencem a O e a U em função do ponto de corte (10 ou 28 malhas) e usar as composições das correntes (os vetores g_i,m_i,s_i) para computar onde cada fração de classe foi parar (usando G,M,S já obtidos).

Passo 8

Eficiências da peneira de 10 malhas (passo-a-passo):
  • Classes consideradas oversize em relação a 10 malhas: 4/6,\;6/8,\;8/10. Soma na alimentação:
O_{10} = 0{,}0127 + 0{,}0223 + 0{,}0674 = 0{,}1024.
  • Undersize em relação a 10: todas as demais classes; U_{10} = 1 - O_{10} = 0{,}8976.
  • Masse de oversize que foram corretamente para a corrente retida (aqui a corrente “retida” por essa peneira é a fração grossa; partículas oversize idealmente vão para a corrente grossa): calcule a contribuição da fração grossa proveniente dessas classes:
    • Soma dos g_i para essas classes (leitura da tabela): 0{,}0980 + 0{,}1373 + 0{,}4118 = 0{,}6471.
    • Massa de oversize que efetivamente ficou na corrente grossa (em fração da alimentação) é G\cdot 0{,}6471:
\text{oversize retido} = 0{,}1295918367\cdot 0{,}6471 \approx 0{,}08390136.
  • Assim a eficiência de retenção para 10 malhas:
\eta_{O,10} = \frac{0{,}08390136}{0{,}1024} \approx 0{,}8198 = 81{,}98\%.
  • Massa de undersize que passou corretamente (isto é, não foi retida na corrente grossa): podia ser calculada como U_{10} menos a parcela de undersize que foi indevidamente retida na corrente grossa. Primeiro a parcela de undersize que foi retida é
G\cdot(\text{soma dos }g_i\text{ nas classes finer que 10}) = G\cdot(0{,}2647+0{,}0882) = G\cdot 0{,}3529 \approx 0{,}04569048.
Portanto undersize que passou corretamente:
\text{undersize passado} = U_{10} - 0{,}04569048 = 0{,}8976 - 0{,}04569048 = 0{,}85190952.
E a eficiência de passagem:
\eta_{U,10} = \frac{0{,}85190952}{0{,}8976} \approx 0{,}94945 = 94{,}95\%.
  • Eficiência global de classificação da peneira de 10 malhas (fração da alimentação corretamente classificada por essa peneira) é a soma das massas corretamente posicionadas:
\eta_{\text{global},10} = 0{,}08390136 + 0{,}85190952 = 0{,}93581088 \approx 93{,}58\%.

Passo 9

Eficiências da peneira de 28 malhas (passo-a-passo):
  • Classes oversize em relação a 28 malhas: 4/6,\;6/8,\;8/10,\;10/14,\;14/20,\;20/28. Soma na alimentação:
O_{28} = 0{,}0127+0{,}0223+0{,}0674+0{,}1170+0{,}2085+0{,}2206 = 0{,}6485.
  • Undersize em relação a 28: classes 28/35,\;35/48,\;48/65,\;65/100. Soma:
U_{28} = 1 - O_{28} = 0{,}3515.
  • Para a peneira de 28 malhas, o oversize deve ser retido (isto é, terminar nas correntes retidas: grossa + média) e o undersize deve passar (ir para a fração fina). Logo:
    • Calcule a massa de oversize que indevidamente foi para a fração fina (isto é, oversize perdido nas finuras): somamos os s_i nas classes oversize e multiplicamos por S.
      • Soma dos s_i nas classes oversize (na tabela): 0{,}0526 + 0{,}1213 + 0{,}2551 = 0{,}4289999999.
      • Massa oversize em fração fina = S\cdot 0{,}429 \approx 0{,}5563636364\cdot 0{,}429 \approx 0{,}2386.
    • Assim oversize que ficou em correntes retidas (grossa + média) é
O_{28} - 0{,}2386 = 0{,}6485 - 0{,}2386 = 0{,}4099.
  • Eficiência de retenção do oversize para 28 malhas:
\eta_{O,28} = \frac{0{,}4099}{0{,}6485} \approx 0{,}6323 = 63{,}23\%.
  • Agora calcule a massa de undersize que foi corretamente para a fração fina:
    • Soma dos s_i nas classes undersize: 0{,}2494+0{,}2105+0{,}0835+0{,}0275 = 0{,}5709.
    • Massa undersize em fração fina = S\cdot 0{,}5709 \approx 0{,}5563636364\cdot 0{,}5709 \approx 0{,}3179.
    • Eficiência de passagem do undersize:
\eta_{U,28} = \frac{0{,}3179}{0{,}3515} \approx 0{,}9042 = 90{,}42\%.
  • Eficiência global de classificação da peneira de 28 malhas (fração da alimentação corretamente classificada por essa peneira) é:
\eta_{\text{global},28} = 1 - (\text{total de massas mal posicionadas}) = 1 - (0{,}2386 + (0{,}3515 - 0{,}3179)) \approx 0{,}7278 = 72{,}78\%.
(onde 0{,}2386 é oversize que foi para finos e 0{,}3515-0{,}3179=0{,}0336 é undersize que foi para correntes retidas).

Resposta

Eficiência peneira 10 malhas — retenção oversize: 81{,}98\% ; passagem undersize: 94{,}95\% ; eficiência global: 93{,}58\%.
Eficiência peneira 28 malhas — retenção oversize: 63{,}23\% ; passagem undersize: 90{,}42\% ; eficiência global: 72{,}78\%.
Fluxos (vazão alimentação =5250\\ \mathrm{kg/h}): rejeito grosso \dot{G}=680{,}357\\ \mathrm{kg/h}; produto (fração média) \dot{M}=1648{,}734\\ \mathrm{kg/h}; rejeito fino \dot{S}=2920{,}909\\ \mathrm{kg/h}.

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