Dadas as análises de peneiramento da alimentação e das frações obtidas em peneiras de 10 e 28 malhas, determinar a eficiência dessas peneiras. Sendo de
o fluxo de alimentação, determine os fluxos de produto (fração média) e rejeitos (frações grossa e fina).
Peneira (malha)
Alimentação
Fração Grossa
Fração Média
Fração Fina
4/6
0,0127
0,0980
6/8
0,0223
0,1373
0,0141
8/10
0,0674
0,4118
0,0444
10/14
0,1170
0,2647
0,1697
0,0526
14/20
0,2085
0,0882
0,4121
0,1213
20/28
0,2206
0,2505
0,2551
28/35
0,1729
0,1091
0,2494
35/48
0,1170
0,2105
48/65
0,0464
0,0835
65/100
0,0153
0,0275
| Peneira (malha) | Alimentação | Fração Grossa | Fração Média | Fração Fina |
| 4/6 | 0,0127 | 0,0980 | ||
| 6/8 | 0,0223 | 0,1373 | 0,0141 | |
| 8/10 | 0,0674 | 0,4118 | 0,0444 | |
| 10/14 | 0,1170 | 0,2647 | 0,1697 | 0,0526 |
| 14/20 | 0,2085 | 0,0882 | 0,4121 | 0,1213 |
| 20/28 | 0,2206 | 0,2505 | 0,2551 | |
| 28/35 | 0,1729 | 0,1091 | 0,2494 | |
| 35/48 | 0,1170 | 0,2105 | ||
| 48/65 | 0,0464 | 0,0835 | ||
| 65/100 | 0,0153 | 0,0275 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Determinar a eficiência das peneiras de
e malhas (ou seja, avaliar quão bem cada peneira separa as partículas maiores das menores). - Com a vazão de alimentação igual a
, calcular os fluxos de massa das três correntes de saída: rejeito grosso (fração grossa), produto (fração média) e rejeito fino (fração fina).
Informações dadas (retiradas da tabela):
- A coluna “Alimentação” é a distribuição de partículas por classes de malhas; soma total é
(arredondamento) — ou seja, representa a fração relativa (por massa) de cada classe na alimentação. - As colunas “Fração Grossa”, “Fração Média” e “Fração Fina” são as distribuições granulométricas (PSD) das três correntes de saída: cada coluna soma
(são as frações, dentro daquela corrente, que pertencem a cada classe de malha). - Cada classe de malha
da alimentação (fração ) é repartida entre as três correntes; portanto, para cada ,
onde
são as frações de massa (relativas à alimentação) das correntes grossa, média e fina respectivamente, e
são os números da tabela (frações dentro das correntes).
- Objetivo imediato: determinar
(frações por massa das correntes) e então os fluxos em kg/h multiplicando por . Depois usar essas informações para calcular as eficiências das peneiras de e malhas.
Passo 2
Entendimento matemático e estratégia para obter
(explicando didaticamente):
- Cada coluna de saída (grossa, média, fina) nos dá a composição da corrente: por exemplo, a fração
na coluna “Fração Grossa” para a classe significa que da massa da corrente grossa é composta por partículas da classe . - Se
é a fração da alimentação que vai para a corrente grossa (em massa relativa), então a contribuição absoluta da classe à corrente grossa é . - A equação global por classe é
. Temos uma equação por classe; mas só três incógnitas . Felizmente a tabela tem classes nas quais apenas uma das colunas tem valor não nulo — isso permite resolver diretamente e e, por soma, obter .
Passo 3
Cálculo de
usando uma classe que aparece apenas na coluna “Fração Grossa”:
- Observe a classe
: na tabela e, para essa classe, , , .
Portanto:
- Calcule:
Explicação rápida: escolhemos essa classe porque só a corrente grossa contém partículas dessa classe — daí podemos isolar
imediatamente.
Passo 4
Cálculo de
usando uma classe que aparece apenas na coluna “Fração Fina”:
- Observe a classe
: e , com .
Logo:
- Calcule:
Passo 5
Cálculo de
por complemento e verificação:
- Sabendo que as três frações somam
(toda a alimentação é repartida entre as três correntes),
- Substituindo:
- Verificação rápida usando uma classe com contribuições em várias colunas (por exemplo
, onde , , , ):
o que confirma consistência numérica (diferenças pequenas por arredondamento).
Passo 6
Converter
em fluxos de massa (kg/h):
- A vazão de alimentação é
. - Fluxo rejeito grosso:
- Fluxo produto (fração média):
- Fluxo rejeito fino:
(Confirmação:
.)
Passo 7
Definição e método para calcular a eficiência de uma peneira (didática):
- Para uma peneira que separa em um ponto de malha
, chamamos: - “oversize” (O) = fração da alimentação com partículas maiores que a malha
(isto é, que deveriam ser retidas por aquela peneira); - “undersize” (U) = fração da alimentação com partículas menores que a malha
(isto é, que deveriam passar pela peneira).
- “oversize” (O) = fração da alimentação com partículas maiores que a malha
- Para avaliar a peneira usamos dois indicadores úteis:
- Eficiência de retenção do oversize (retenção correta):
- Eficiência de passagem do undersize (passagem correta):
- Além disso podemos definir a eficiência global de classificação da peneira como a fração da alimentação que foi corretamente classificada por ela:
- Para aplicar, devemos identificar quais classes pertencem a O e a U em função do ponto de corte (10 ou 28 malhas) e usar as composições das correntes (os vetores
) para computar onde cada fração de classe foi parar (usando já obtidos).
Passo 8
Eficiências da peneira de
malhas (passo-a-passo):
- Classes consideradas oversize em relação a
malhas: . Soma na alimentação:
- Undersize em relação a
: todas as demais classes; . - Masse de oversize que foram corretamente para a corrente retida (aqui a corrente “retida” por essa peneira é a fração grossa; partículas oversize idealmente vão para a corrente grossa): calcule a contribuição da fração grossa proveniente dessas classes:
- Soma dos
para essas classes (leitura da tabela): . - Massa de oversize que efetivamente ficou na corrente grossa (em fração da alimentação) é
:
- Soma dos
- Assim a eficiência de retenção para
malhas:
- Massa de undersize que passou corretamente (isto é, não foi retida na corrente grossa): podia ser calculada como
menos a parcela de undersize que foi indevidamente retida na corrente grossa. Primeiro a parcela de undersize que foi retida é
Portanto undersize que passou corretamente:
E a eficiência de passagem:
- Eficiência global de classificação da peneira de
malhas (fração da alimentação corretamente classificada por essa peneira) é a soma das massas corretamente posicionadas:
Passo 9
Eficiências da peneira de
malhas (passo-a-passo):
- Classes oversize em relação a
malhas: . Soma na alimentação:
- Undersize em relação a
: classes . Soma:
- Para a peneira de
malhas, o oversize deve ser retido (isto é, terminar nas correntes retidas: grossa + média) e o undersize deve passar (ir para a fração fina). Logo: - Calcule a massa de oversize que indevidamente foi para a fração fina (isto é, oversize perdido nas finuras): somamos os
nas classes oversize e multiplicamos por . - Soma dos
nas classes oversize (na tabela): . - Massa oversize em fração fina =
.
- Soma dos
- Assim oversize que ficou em correntes retidas (grossa + média) é
- Calcule a massa de oversize que indevidamente foi para a fração fina (isto é, oversize perdido nas finuras): somamos os
- Eficiência de retenção do oversize para
malhas:
- Agora calcule a massa de undersize que foi corretamente para a fração fina:
- Soma dos
nas classes undersize: . - Massa undersize em fração fina =
. - Eficiência de passagem do undersize:
- Soma dos
- Eficiência global de classificação da peneira de
malhas (fração da alimentação corretamente classificada por essa peneira) é:
(onde
é oversize que foi para finos e
é undersize que foi para correntes retidas).
Resposta
Eficiência peneira
malhas — retenção oversize:
; passagem undersize:
; eficiência global:
.
Eficiência peneira malhas — retenção oversize:
; passagem undersize:
; eficiência global:
.
Fluxos (vazão alimentação ): rejeito grosso
; produto (fração média)
; rejeito fino
.
Eficiência peneira
Fluxos (vazão alimentação