Dadas as bases B=\{(3,2,1),(1,0,1),(0,2,1)\} e C=\{(3,6,0),(-1,-4,0),(14,8,3)\} do \mathbb{R}^{3} determine a matriz mudança de base de B para C, M_{B C}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a matriz de mudança de base de B para C, isto é, M_{BC}.
Dados fornecidos:
B=\{(3,2,1),(1,0,1),(0,2,1)\}
C=\{(3,6,0),(-1,-4,0),(14,8,3)\}
Ou seja, os vetores da base B são b_{1}=(3,2,1), b_{2}=(1,0,1), b_{3}=(0,2,1) e os da base C são c_{1}=(3,6,0), c_{2}=(-1,-4,0), c_{3}=(14,8,3).
Passo 2
Definição usada (explicação didática): a matriz M_{BC} é a matriz que converte coordenadas em relação à base B para coordenadas em relação à base C. Em fórmula:
[v]_{C}=M_{BC}\,[v]_{B}
Logo, as colunas de M_{BC} são as coordenadas, na base C, dos vetores da base B. Ou seja, a i-ésima coluna de M_{BC} é [b_{i}]_{C}.
Passo 3
Para encontrar [b_{i}]_{C} precisamos escrever cada b_{i} como combinação linear dos vetores de C:
\alpha\,c_{1}+\beta\,c_{2}+\gamma\,c_{3}=b_{i}.
Escrevendo em forma matricial, com a matriz cujas colunas são c_{1},c_{2},c_{3}:
onde (x,y,z) é o vetor b_{i}. Denotemos essa matriz por P.]
Passo 4
Observação útil (didática): a terceira linha da matriz P é (0,0,3). Isso significa que a terceira equação do sistema é simplesmente 3\gamma = z, logo
\gamma=\frac{z}{3}.
Assim podemos achar \gamma imediatamente a partir da coordenada z de b_{i} e depois voltar nas duas primeiras equações para achar \alpha e \beta. Isso simplifica bastante o cálculo.