Dadas as bases B=\{(3,2,1),(1,0,1),(0,2,1)\} e C=\{(3,6,0),(-1,-4,0),(14,8,3)\} do \mathbb{R}^{3} determine a matriz mudança de base de B para C, M_{B C}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a matriz de mudança de base de B para C, isto é, M_{BC}.
Dados fornecidos:
B=\{(3,2,1),(1,0,1),(0,2,1)\}
C=\{(3,6,0),(-1,-4,0),(14,8,3)\}
Ou seja, os vetores da base B são b_{1}=(3,2,1), b_{2}=(1,0,1), b_{3}=(0,2,1) e os da base C são c_{1}=(3,6,0), c_{2}=(-1,-4,0), c_{3}=(14,8,3).

Passo 2

Definição usada (explicação didática): a matriz M_{BC} é a matriz que converte coordenadas em relação à base B para coordenadas em relação à base C. Em fórmula:
[v]_{C}=M_{BC}\,[v]_{B}
Logo, as colunas de M_{BC} são as coordenadas, na base C, dos vetores da base B. Ou seja, a i-ésima coluna de M_{BC} é [b_{i}]_{C}.

Passo 3

Para encontrar [b_{i}]_{C} precisamos escrever cada b_{i} como combinação linear dos vetores de C:
\alpha\,c_{1}+\beta\,c_{2}+\gamma\,c_{3}=b_{i}.
Escrevendo em forma matricial, com a matriz cujas colunas são c_{1},c_{2},c_{3}:
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 14\\[4pt] 6 & -4 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix},
onde (x,y,z) é o vetor b_{i}. Denotemos essa matriz por P.]

Passo 4

Observação útil (didática): a terceira linha da matriz P é (0,0,3). Isso significa que a terceira equação do sistema é simplesmente 3\gamma = z, logo
\gamma=\frac{z}{3}.
Assim podemos achar \gamma imediatamente a partir da coordenada z de b_{i} e depois voltar nas duas primeiras equações para achar \alpha e \beta. Isso simplifica bastante o cálculo.

Passo 5

Resolver para b_{1}=(3,2,1).
Da terceira componente: z=1 então
\gamma=\frac{1}{3}.
As duas primeiras equações são
3\alpha-\beta+14\gamma=3,
6\alpha-4\beta+8\gamma=2.
Substituindo \gamma=\tfrac{1}{3}:
3\alpha-\beta+\frac{14}{3}=3,\qquad 6\alpha-4\beta+\frac{8}{3}=2.
Multiplicando a primeira por 3 e a segunda por 3 para evitar frações:
9\alpha-3\beta+14=9,\qquad 18\alpha-12\beta+8=6.
Simplificando:
9\alpha-3\beta=-5,\qquad 18\alpha-12\beta=-2.
Dividindo a segunda por 2: 9\alpha-6\beta=-1.
Agora subtraindo as equações ( 9\alpha-6\beta) − ( 9\alpha-3\beta) obtemos -3\beta=4, então
\beta=-\frac{4}{3}.
Substituindo em 3\alpha-\beta=-\tfrac{5}{3} (que vem de dividir 9\alpha-3\beta=-5 por 3):
3\alpha+\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad 3\alpha=-3\quad\Rightarrow\quad \alpha=-1.
Portanto, as coordenadas de b_{1} na base C são
[b_{1}]_{C}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-\tfrac{4}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver para b_{2}=(1,0,1).
Terceira componente: z=1 então
\gamma=\frac{1}{3}.
Primeiras equações:
3\alpha-\beta+\frac{14}{3}=1,\qquad 6\alpha-4\beta+\frac{8}{3}=0.
Multiplicando por 3:
9\alpha-3\beta+14=3,\qquad 18\alpha-12\beta+8=0.
Simplificando:
9\alpha-3\beta=-11,\qquad 18\alpha-12\beta=-8.
Dividindo a segunda por 2: 9\alpha-6\beta=-4.
Subtraindo: (9\alpha-6\beta)-(9\alpha-3\beta)=-4-(-11)\Rightarrow -3\beta=7\Rightarrow \beta=-\tfrac{7}{3}.
Voltando em 3\alpha-\beta=-\tfrac{11}{3}:
3\alpha+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}\quad\Rightarrow\quad 3\alpha=-6\quad\Rightarrow\quad \alpha=-2.
Logo
[b_{2}]_{C}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-\tfrac{7}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver para b_{3}=(0,2,1).
Terceira componente: z=1 então
\gamma=\frac{1}{3}.
Primeiras equações:
3\alpha-\beta+\frac{14}{3}=0,\qquad 6\alpha-4\beta+\frac{8}{3}=2.
Multiplicando por 3:
9\alpha-3\beta+14=0,\qquad 18\alpha-12\beta+8=6.
Simplificando:
9\alpha-3\beta=-14,\qquad 18\alpha-12\beta=-2.
Dividindo a segunda por 2: 9\alpha-6\beta=-1.
Subtraindo: (9\alpha-6\beta)-(9\alpha-3\beta)=-1-(-14)\Rightarrow -3\beta=13\Rightarrow \beta=-\tfrac{13}{3}.
Usando 3\alpha-\beta=-\tfrac{14}{3}:
3\alpha+\frac{13}{3}=-\frac{14}{3}\quad\Rightarrow\quad 3\alpha=-9\quad\Rightarrow\quad \alpha=-3.
Portanto
[b_{3}]_{C}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-\tfrac{13}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Juntando as colunas [b_{1}]_{C},[b_{2}]_{C},[b_{3}]_{C} obtemos a matriz M_{BC}:
M_{BC}=\begin{pmatrix} -1 & -2 & -3\\[4pt] -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{7}{3} & -\tfrac{13}{3}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} -1 & -2 & -3\\[4pt] -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{7}{3} & -\tfrac{13}{3}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}]

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