Sejam S_{1} e S_{2} subconjuntos finitos e não vazios de V. Se S_{1} \subset S_{2} e S_{2} é l.d. então S_{1} é também l.d…
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma avaliação de verdade/falsidade:
  • Dados S_{1} e S_{2} subconjuntos finitos e não vazios de um espaço vetorial V.
  • Sabe-se que S_{1}\subset S_{2}.
  • Sabe-se que S_{2} é linearmente dependente (l.d.).
  • Pergunta: a partir disso, podemos concluir que S_{1} também é linearmente dependente?

Passo 2

Definição e entendimento (muito didático):
  • Dizemos que um conjunto S de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial dos vetores que dá o vetor zero. Em símbolos: \text{\(S\) é l.d. se existem escalares } \alpha_1,\dots,\alpha_k,\ \text{nem todos zero, tais que } \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0,éonde v_1,\dots,v_k são os vetores de S.
  • Dizemos que S é linearmente independente se a única combinação linear que produz o vetor zero é a combinação trivial, isto é, todos os escalares são zero: \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 \Longrightarrow \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
Explicação simples: ser l.d. significa que um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros (ou existe alguma relação não trivial entre eles). Ser l.i. significa que nenhum vetor do conjunto depende linearmente dos outros.

Passo 3

Estratégia: mostrar que a afirmação é falsa fornecendo um contraexemplo concreto (um caso onde S_{2} é l.d. mas um subconjunto S_{1}\subset S_{2} é l.i.). Vou trabalhar em um espaço vetorial simples para ficar bem claro e computável sem calculadora.

Passo 4

Contraexemplo em \mathbb{R}^2:
  • Defina
    S_{2}=\{v_1,v_2,v_3\}=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}.
    Tome S_{1}=\{v_1,v_2\}=\{(1,0),(0,1)\}. Note que S_{1}\subset S_{2}.
  • Primeiro mostro que S_{2} é l.d.:
    calcule a combinação
    1\cdot v_1 + 1\cdot v_2 + (-1)\cdot v_3.
    Em coordenadas,
    1\cdot(1,0) + 1\cdot(0,1) + (-1)\cdot(1,1) = (1,0)+(0,1)-(1,1)=(0,0).
    Os coeficientes (1,1,-1) não são todos zero, logo existe uma combinação linear não trivial que dá zero. Portanto S_{2} é linearmente dependente.

Passo 5

Agora mostro que S_{1} é l.i.:
  • Considere uma combinação genérica
    \alpha\cdot(1,0)+\beta\cdot(0,1)=(0,0).
    Olhando coordenada a coordenada obtemos o sistema
    \alpha=0,\qquad \beta=0.
    Logo a única solução é \alpha=\beta=0. Portanto a combinação trivial é a única que produz zero, e S_{1} é linearmente independente.
  • Conclusão do contraexemplo: aqui S_{2} é l.d. e S_{1}\subset S_{2} é l.i., portanto a afirmação “se S_{2} é l.d. então S_{1} é também l.d.” é falsa em geral.

Resposta

Falso

Exercícios relacionados