Sejam
e
subconjuntos finitos e não vazios de
. Se
e
é l.d. então
é também l.d…
◯ Verdadeiro
◯ Falso
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma avaliação de verdade/falsidade:
- Dados
e subconjuntos finitos e não vazios de um espaço vetorial . - Sabe-se que
. - Sabe-se que
é linearmente dependente (l.d.). - Pergunta: a partir disso, podemos concluir que
também é linearmente dependente?
Passo 2
Definição e entendimento (muito didático):
- Dizemos que um conjunto
de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial dos vetores que dá o vetor zero. Em símbolos: onde são os vetores de . - Dizemos que
é linearmente independente se a única combinação linear que produz o vetor zero é a combinação trivial, isto é, todos os escalares são zero:
Explicação simples: ser l.d. significa que um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros (ou existe alguma relação não trivial entre eles). Ser l.i. significa que nenhum vetor do conjunto depende linearmente dos outros.
Passo 3
Estratégia: mostrar que a afirmação é falsa fornecendo um contraexemplo concreto (um caso onde
é l.d. mas um subconjunto
é l.i.). Vou trabalhar em um espaço vetorial simples para ficar bem claro e computável sem calculadora.
Passo 4
Contraexemplo em
:
-
DefinaTome
. Note que . -
Primeiro mostro que
é l.d.:
calcule a combinaçãoEm coordenadas,Os coeficientesnão são todos zero, logo existe uma combinação linear não trivial que dá zero. Portanto é linearmente dependente.
Passo 5
Agora mostro que
é l.i.:
-
Considere uma combinação genéricaOlhando coordenada a coordenada obtemos o sistemaLogo a única solução é
. Portanto a combinação trivial é a única que produz zero, e é linearmente independente. -
Conclusão do contraexemplo: aqui
é l.d. e é l.i., portanto a afirmação “se é l.d. então é também l.d.” é falsa em geral.
Resposta
Falso