Sejam S_{1} e S_{2} subconjuntos finitos e não vazios de V. Se S_{1} \subset S_{2} e S_{1} é l.i. então S_{2} é também l.i…
Verdadeiro
  • Falso

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informações dadas:
    • S_{1} e S_{2} são subconjuntos finitos e não vazios de V.
    • S_{1}\subset S_{2}.
    • S_{1} é linearmente independente.
  • Pergunta:
    • A afirmação “se S_{1}\subset S_{2} e S_{1} é linearmente independente então S_{2} também é linearmente independente” é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Primeiro vamos fixar bem o conceito que precisamos usar (é importante — pega firme aqui que é a base da prova):
  • Definição de linearmente independente: um conjunto S de vetores é dito linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Formalmente: \text{Se }S=\{v_1,\dots,v_k\},\text{ então }S\text{ é l.i. se, sempre que }a_1v_1+\cdots+a_kv_k=0,ãé
\text{então necessariamente }a_1=\cdots=a_k=0.ã
Aqui a_1,\dots,a_k são escalares (coeficientes) e 0 é o vetor nulo. A expressão acima diz: se uma soma linear de vetores de S é o vetor nulo, os coeficientes têm que ser todos zero.
  • Definição de linearmente dependente: um conjunto não é l.i. (ou seja, é linearmente dependente) se existe alguma combinação linear não trivial (algum coeficiente diferente de zero) que resulte no vetor nulo.
Vou explicar isso com palavras: um conjunto é l.i. quando nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros; se algum vetor puder ser escrito como combinação dos demais, o conjunto é l.d.

Passo 3

Agora a ideia-chave para decidir a afirmação:
  • Se em S_{2} houver algum vetor v que pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S_{1}, então S_{2} será linearmente dependente. Isso porque, supondo v=\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_m u_mcom u_1,\dots,u_m\in S_{1} e nem todos os \alpha_i iguais a zero, podemos rearranjar para obter uma combinação linear não trivial que dá zero: v-(\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_m u_m)=0.Aqui os coeficientes dessa combinação não são todos zero (o coeficiente do vetor v é 1), logo S_{2} é linearmente dependente.
Isso já sugere que a afirmação geral “todo superset de um conjunto l.i. é l.i.” é duvidosa: basta acrescentar ao superset um vetor que seja combinação dos anteriores para perder a independência.

Passo 4

Construo um contraexemplo explícito — isso resolve a questão mostrando que a afirmação é falsa.
  • Tome V=\mathbb{R}^2.
  • Defina
    S_{1}=\{(1,0)\}.
    Verifique que S_{1} é linearmente independente: se a(1,0)=(0,0) então a=0. Logo só existe a combinação trivial.
  • Defina
    S_{2}=\{(1,0),(2,0)\}.
    Note que S_{1}\subset S_{2} e ambos são finitos e não vazios.
  • Mostre que S_{2} é linearmente dependente: procuramos coeficientes a,b, nem ambos zero, tais que
    a(1,0)+b(2,0)=(0,0).
    Isso dá o sistema na componente x:
    a+2b=0.
    Escolhendo, por exemplo, b=1 obtemos a=-2, então com a=-2 e b=1 temos uma combinação não trivial que resulta no vetor nulo:
    -2(1,0)+1(2,0)=(0,0).
    Portanto S_{2} é linearmente dependente.
Esse contraexemplo mostra que mesmo partindo de um conjunto S_{1} l.i. e tomando S_{2} com S_{1}\subset S_{2}, não é garantido que S_{2} seja l.i.

Passo 5

Conclusão e interpretação rápida: a afirmação é falsa. Intuitivamente, porque adicionar vetores a um conjunto l.i. pode criar relações lineares entre os vetores (por exemplo, adicionar um múltiplo de um vetor já presente), e isso torna o conjunto dependente. Não precisa se desesperar — na prova, sempre que virem uma afirmação desse tipo, pensem em fabricar um contraexemplo simples em \mathbb{R}^n com vetores colineares ou incluindo o vetor nulo.

Resposta

Falso

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