Sejam
e
subconjuntos finitos e não vazios de
. Se
e
é l.i. então
é também l.i…
Verdadeiro
- Falso
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
-
Informações dadas:
-
e são subconjuntos finitos e não vazios de . -
. -
é linearmente independente.
-
-
Pergunta:
- A afirmação “se
e é linearmente independente então também é linearmente independente” é verdadeira ou falsa?
- A afirmação “se
Passo 2
Primeiro vamos fixar bem o conceito que precisamos usar (é importante — pega firme aqui que é a base da prova):
- Definição de linearmente independente: um conjunto
de vetores é dito linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Formalmente:
Aqui
são escalares (coeficientes) e
é o vetor nulo. A expressão acima diz: se uma soma linear de vetores de
é o vetor nulo, os coeficientes têm que ser todos zero.
- Definição de linearmente dependente: um conjunto não é l.i. (ou seja, é linearmente dependente) se existe alguma combinação linear não trivial (algum coeficiente diferente de zero) que resulte no vetor nulo.
Vou explicar isso com palavras: um conjunto é l.i. quando nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros; se algum vetor puder ser escrito como combinação dos demais, o conjunto é l.d.
Passo 3
Agora a ideia-chave para decidir a afirmação:
- Se em
houver algum vetor que pode ser escrito como combinação linear dos vetores de , então será linearmente dependente. Isso porque, supondo com e nem todos os iguais a zero, podemos rearranjar para obter uma combinação linear não trivial que dá zero: Aqui os coeficientes dessa combinação não são todos zero (o coeficiente do vetor é ), logo é linearmente dependente.
Isso já sugere que a afirmação geral “todo superset de um conjunto l.i. é l.i.” é duvidosa: basta acrescentar ao superset um vetor que seja combinação dos anteriores para perder a independência.
Passo 4
Construo um contraexemplo explícito — isso resolve a questão mostrando que a afirmação é falsa.
-
Tome
. -
DefinaVerifique que
é linearmente independente: se então . Logo só existe a combinação trivial. -
DefinaNote que
e ambos são finitos e não vazios. -
Mostre que
é linearmente dependente: procuramos coeficientes , nem ambos zero, tais que Isso dá o sistema na componente: Escolhendo, por exemplo,obtemos , então com e temos uma combinação não trivial que resulta no vetor nulo: Portantoé linearmente dependente.
Esse contraexemplo mostra que mesmo partindo de um conjunto
l.i. e tomando
com
, não é garantido que
seja l.i.
Passo 5
Conclusão e interpretação rápida: a afirmação é falsa. Intuitivamente, porque adicionar vetores a um conjunto l.i. pode criar relações lineares entre os vetores (por exemplo, adicionar um múltiplo de um vetor já presente), e isso torna o conjunto dependente. Não precisa se desesperar — na prova, sempre que virem uma afirmação desse tipo, pensem em fabricar um contraexemplo simples em
com vetores colineares ou incluindo o vetor nulo.
Resposta
Falso