Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho satisfazendo A B=I (matriz identidade), então é válido afirmar que \lambda=0 :
(A) é autovalor de A ou B
(B) não é autovalor de A nem de B.
(C) é autovalor de A e B
(D) é autovalor de A, mas não de B.
(E) N.D.A.

Passo 1

O enunciado dá que A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho e que
AB = I,
onde I é a matriz identidade. A pergunta é: é válido afirmar que \lambda=0
(A) é autovalor de A ou B,
(B) não é autovalor de A nem de B,
(C) é autovalor de A e B,
(D) é autovalor de A, mas não de B,
(E) N.D.A.
Ou seja, precisamos decidir se o valor próprio \lambda=0 pode ocorrer em A ou em B, dado que AB=I.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (com calma) o que significa \lambda=0 ser autovalor de uma matriz.
Definição: \lambda é autovalor de uma matriz M se existe um vetor não nulo v tal que
Mv=\lambda v.
No caso \lambda=0 isso vira
Mv=0
com v\neq 0. Ou seja: \lambda=0 é autovalor de M exatamente quando existe um vetor não nulo no núcleo (ker) de M. Em termos matriciais, isso quer dizer que o sistema homogêneo Mv=0 tem solução não trivial, o que caracteriza matrizes singulares.

Passo 3

Agora vamos conectar autovalor zero com determinante e invertibilidade. Teorema importante (vamos explicar): para uma matriz quadrada M,
  • M é inversível (ou não singular) se, e somente se, \det(M)\neq 0.
  • \lambda=0 é autovalor de M se, e somente se, \det(M)=0. (Porque \det(M) é o produto dos autovalores contados com multiplicidade; em particular, se zero é autovalor então o produto é zero, e se \det(M)=0 então o sistema homogêneo tem solução não trivial.)
Essas proposições permitem traduzir perguntas sobre autovalor zero em perguntas sobre o determinante.

Passo 4

Use agora a propriedade do determinante para produto de matrizes. Para matrizes quadradas do mesmo tamanho vale sempre:
\det(AB)=\det(A)\det(B).
No nosso caso, como AB=I, temos
\det(AB)=\det(I).
Mas a matriz identidade I tem determinante igual a 1, isto é \det(I)=1. Logo, combinando,
\det(A)\det(B)=1.

Passo 5

Da igualdade \det(A)\det(B)=1 segue que nem \det(A) nem \det(B) podem ser zero, pois se um deles fosse zero o produto seria zero, não 1. Assim
\det(A)\neq 0\quad\text{e}\quad\det(B)\neq 0.
Pelo passo 3, determinantes não nulos significam que A e B são invertíveis e, portanto, o sistema Av=0 e o sistema Bw=0 admitem apenas a solução trivial v=0 e w=0. Consequentemente \lambda=0 não é autovalor nem de A nem de B.

Passo 6

Resumo da ideia prática — como você aplicaria isso numa prova: ao ver AB=I com A,B quadradas, você imediatamente pensa em determinante do produto ou em que B é a inversa de A. Mostrar que \det(A)\det(B)=\det(I)=1 é curto e conclui que ambos têm determinante diferente de zero, logo nenhum tem autovalor zero. Isso evita provas mais longas tentando construir vetores ou manipular núcleos.

Resposta

(B)

Exercícios relacionados