Se
e
são matrizes quadradas de mesmo tamanho satisfazendo
(matriz identidade), então é válido afirmar que
:
(A) é autovalor de
ou
(B) não é autovalor de
nem de
.
(C) é autovalor de
e
(D) é autovalor de
, mas não de
.
(E) N.D.A.
(A) é autovalor de
(B) não é autovalor de
(C) é autovalor de
(D) é autovalor de
(E) N.D.A.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são matrizes quadradas do mesmo tamanho e que
onde
é a matriz identidade. A pergunta é: é válido afirmar que
(A) é autovalor de ou
,
(B) não é autovalor de nem de
,
(C) é autovalor de e
,
(D) é autovalor de , mas não de
,
(E) N.D.A.
Ou seja, precisamos decidir se o valor próprio pode ocorrer em
ou em
, dado que
.
(A) é autovalor de
(B) não é autovalor de
(C) é autovalor de
(D) é autovalor de
(E) N.D.A.
Ou seja, precisamos decidir se o valor próprio
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar (com calma) o que significa
ser autovalor de uma matriz.
Definição: é autovalor de uma matriz
se existe um vetor não nulo
tal que
Definição:
No caso
isso vira
com
. Ou seja:
é autovalor de
exatamente quando existe um vetor não nulo no núcleo (ker) de
. Em termos matriciais, isso quer dizer que o sistema homogêneo
tem solução não trivial, o que caracteriza matrizes singulares.
Passo 3
Agora vamos conectar autovalor zero com determinante e invertibilidade. Teorema importante (vamos explicar): para uma matriz quadrada
,
-
é inversível (ou não singular) se, e somente se, . -
é autovalor de se, e somente se, . (Porque é o produto dos autovalores contados com multiplicidade; em particular, se zero é autovalor então o produto é zero, e se então o sistema homogêneo tem solução não trivial.)
Essas proposições permitem traduzir perguntas sobre autovalor zero em perguntas sobre o determinante.
Passo 4
Use agora a propriedade do determinante para produto de matrizes. Para matrizes quadradas do mesmo tamanho vale sempre:
No nosso caso, como
, temos
Mas a matriz identidade
tem determinante igual a
, isto é
. Logo, combinando,
Passo 5
Da igualdade
segue que nem
nem
podem ser zero, pois se um deles fosse zero o produto seria zero, não
. Assim
Pelo passo 3, determinantes não nulos significam que
e
são invertíveis e, portanto, o sistema
e o sistema
admitem apenas a solução trivial
e
. Consequentemente
não é autovalor nem de
nem de
.
Passo 6
Resumo da ideia prática — como você aplicaria isso numa prova: ao ver
com
quadradas, você imediatamente pensa em determinante do produto ou em que
é a inversa de
. Mostrar que
é curto e conclui que ambos têm determinante diferente de zero, logo nenhum tem autovalor zero. Isso evita provas mais longas tentando construir vetores ou manipular núcleos.
Resposta
(B)