Se S=\emptyset então \emptyset={e}, onde e é o elemento neutro do espaço vetorial V.
  • Falso
  • Verdadeiro

Passo 1

O enunciado dá que S=\emptyset e afirma que [\emptyset]=\{e\}, onde e é o elemento neutro do espaço vetorial V. A pergunta é: essa afirmação é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes dadas:
  • S=\emptyset.
  • e é o elemento neutro do espaço vetorial V (isto é, o elemento aditivo neutro).
  • [\cdot] denota o subespaço gerado (ou “span”) do conjunto indicado.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “elemento neutro” num espaço vetorial. O elemento neutro aditivo é o vetor e que satisfaz, para todo v\in V,
v+e=v.
Por convenção em teoria de espaços vetoriais esse elemento é chamado de vetor zero e geralmente denotado por 0. Ou seja, e=0. Aqui é importante entender que “elemento neutro” quer dizer exatamente o vetor nulo do espaço.

Passo 3

Agora vamos explicar claramente o que é [\;S\;], o subespaço gerado por S. Duas definições equivalentes muito usadas:
  • Definição 1 (interseção de subespaços): [\;S\;] é a interseção de todos os subespaços de V que contêm S. Isso garante que [\;S\;] é o menor subespaço de V que contém S.
  • Definição 2 (combinações lineares): [\;S\;] é o conjunto de todas as combinações lineares finitas de vetores de S. Ou seja,
[\;S\;]=\left\{\sum_{i=1}^{k}\alpha_i v_i \;\middle|\; k\in\mathbb{N},\\ \alpha_i\in\mathbb{F},\\ v_i\in S\right\},
onde \mathbb{F} é o corpo de escalares do espaço vetorial.
Ambas as definições são equivalentes e vamos usar a mais conveniente para o caso S=\emptyset.

Passo 4

Aplicando a definição por combinações lineares ao caso S=\emptyset: quais são as combinações lineares finitas de vetores de \emptyset? Uma combinação linear finita usa um número finito k de vetores v_1,\dots,v_k\in S. Se S=\emptyset, não existe nenhum vetor para escolher quando k\ge1. A única possibilidade é k=0, a combinação vazia. Por convensão em álgebra linear, a soma vazia (a soma de zero termos) é o vetor zero. Assim a única combinação linear possível é o vetor zero. Logo, pela definição 2,
[\emptyset]=\{0\}.
Podemos ver a mesma conclusão pela definição 1: qualquer subespaço de V contém o vetor zero. Como \emptyset está contido em todo subespaço, a interseção de todos os subespaços de V contém pelo menos 0. E não pode conter outro vetor comum a todos subespaços além de 0 em geral; portanto a interseção é exatamente \{0\}. Assim [\emptyset]=\{0\}.

Passo 5

Lembrando do passo 2, e é o elemento neutro aditivo, ou seja e=0. Portanto \{e\}=\{0\}. Juntando com o passo 4/5, obtemos [\emptyset]=\{0\}=\{e\}.
Conclusão direta: a afirmação do enunciado está correta — o subespaço gerado pelo conjunto vazio é o subespaço nulo formado apenas pelo vetor neutro.

Resposta

Verdadeiro

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