Dadas as bases β=\{(1,0),(0,1)\}, β^{\prime}=\{(1,1),(2,1)\}\, e \(β^{\prime \prime}=\{(-1,2),(3,-1)\}\, determine as matrizes de mudança de base.
(3 pts) \[I\]_{β^{\prime}}^{β^{\prime \prime}}
Passo 1
O enunciado fornece três bases de \mathbb{R}^2:
\beta = \{(1,0),(0,1)\} (base canônica),
\beta' = \{(1,1),(2,1)\},
\beta'' = \{(-1,2),(3,-1)\}.
A pergunta é determinar a matriz de mudança de base
[I]_{\beta'}^{\beta''},
ou seja, a matriz que toma coordenadas de um vetor em relação à base \beta' e fornece as coordenadas do mesmo vetor em relação à base \beta''.
Passo 2
Explicação didática do que essa matriz representa e como construí‑la passo a passo.
A matriz [I]_{\beta'}^{\beta''} representa a aplicação identidade vista como mapa linear
I : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,
onde a coluna j dessa matriz é justamente as coordenadas, na base \beta'', do j-ésimo vetor da base \beta'.
Em outras palavras: para cada vetor v_j em \beta' (aqui v_1=(1,1) e v_2=(2,1)), encontramos escalares a,b tais que
a\cdot(-1,2) + b\cdot(3,-1) = v_j.
Os escalares (a,b) são as coordenadas de v_j em \beta'' e formam a coluna j da matriz [I]_{\beta'}^{\beta''}.
Passo 3
Calcular as coordenadas de [v_1=(1,1)) na base \beta''=\{(-1,2),(3,-1)\}.
Escrevendo por componentes obtemos o sistema linear
\begin{cases} - a + 3b = 1,\\[4pt] 2a - b = 1. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação vem a = 3b - 1\]. Substituindo na segunda:
\[2(3b-1) - b = 1 \quad\Rightarrow\quad 6b-2 - b = 1 \quad\Rightarrow\quad 5b = 3.\]
Logo
\[b = \frac{3}{5}, \qquad a = 3\cdot\frac{3}{5} - 1 = \frac{9}{5}-1 = \frac{4}{5}.\]
Portanto as coordenadas de \(v_1 em \beta'' são
\begin{cases} - a + 3b = 2,\\[4pt] 2a - b = 1. \end{cases}
Da primeira equação a = 3b - 2\]. Substituindo na segunda:
\[2(3b-2) - b = 1 \quad\Rightarrow\quad 6b-4 - b = 1 \quad\Rightarrow\quad 5b = 5.\]
Logo
\[b = 1, \qquad a = 3\cdot 1 - 2 = 1.\]
As coordenadas de \(v_2 em \beta'' são
\begin{pmatrix}1\\[6pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 5
Montar a matriz [I]_{\beta'}^{\beta''} com as colunas sendo as coordenadas de v_1 e v_2 em \beta'':