Dadas as bases β=\{(1,0),(0,1)\}, β^{\prime}=\{(1,1),(2,1)\}\, e \(β^{\prime \prime}=\{(-1,2),(3,-1)\}\, determine as matrizes de mudança de base. (3 pts) \[I\]_{β^{\prime}}^{β^{\prime \prime}}

Passo 1

O enunciado fornece três bases de \mathbb{R}^2:
  • \beta = \{(1,0),(0,1)\} (base canônica),
  • \beta' = \{(1,1),(2,1)\},
  • \beta'' = \{(-1,2),(3,-1)\}.
A pergunta é determinar a matriz de mudança de base
[I]_{\beta'}^{\beta''},
ou seja, a matriz que toma coordenadas de um vetor em relação à base \beta' e fornece as coordenadas do mesmo vetor em relação à base \beta''.

Passo 2

Explicação didática do que essa matriz representa e como construí‑la passo a passo.
A matriz [I]_{\beta'}^{\beta''} representa a aplicação identidade vista como mapa linear
I : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,
onde a coluna j dessa matriz é justamente as coordenadas, na base \beta'', do j-ésimo vetor da base \beta'.
Em outras palavras: para cada vetor v_j em \beta' (aqui v_1=(1,1) e v_2=(2,1)), encontramos escalares a,b tais que
a\cdot(-1,2) + b\cdot(3,-1) = v_j.
Os escalares (a,b) são as coordenadas de v_j em \beta'' e formam a coluna j da matriz [I]_{\beta'}^{\beta''}.

Passo 3

Calcular as coordenadas de [v_1=(1,1)) na base \beta''=\{(-1,2),(3,-1)\}.
Procuramos a,b tais que
a\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Escrevendo por componentes obtemos o sistema linear
\begin{cases} - a + 3b = 1,\\[4pt] 2a - b = 1. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação vem a = 3b - 1\]. Substituindo na segunda: \[2(3b-1) - b = 1 \quad\Rightarrow\quad 6b-2 - b = 1 \quad\Rightarrow\quad 5b = 3.\] Logo \[b = \frac{3}{5}, \qquad a = 3\cdot\frac{3}{5} - 1 = \frac{9}{5}-1 = \frac{4}{5}.\] Portanto as coordenadas de \(v_1 em \beta'' são
\begin{pmatrix}\dfrac{4}{5}\\[6pt]\dfrac{3}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular as coordenadas de [v_2=(2,1)) na base \beta''.
Procuramos a,b tais que
a\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},
o que dá o sistema
\begin{cases} - a + 3b = 2,\\[4pt] 2a - b = 1. \end{cases}
Da primeira equação a = 3b - 2\]. Substituindo na segunda: \[2(3b-2) - b = 1 \quad\Rightarrow\quad 6b-4 - b = 1 \quad\Rightarrow\quad 5b = 5.\] Logo \[b = 1, \qquad a = 3\cdot 1 - 2 = 1.\] As coordenadas de \(v_2 em \beta'' são
\begin{pmatrix}1\\[6pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar a matriz [I]_{\beta'}^{\beta''} com as colunas sendo as coordenadas de v_1 e v_2 em \beta'':
[I]_{\beta'}^{\beta''} = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} & 1\\[8pt] \dfrac{3}{5} & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_{\beta'}^{\beta''} = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5} & 1\\[8pt] \dfrac{3}{5} & 1 \end{pmatrix}]

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