Questāo 3: ( 7 pts) Dada a tranformação T: \mathbf{R}^{3} \longrightarrow \mathbf{R}^{2} dada por
T(x, y, z)=(x+y-z, x+y+z,)
a) (3) Encontre o núcleo e a imagem de T.
b) (2 pts) Encontre a matriz [T]_{\alpha}^{\alpha^{\prime}} onde \alpha e \alpha^{\prime} são as bases canônicas de \mathbf{R}^{3} e \mathbf{R}^{2} respectivamente.
c) (2 pt ) Qual a dimensão do núcleo e qual a dimensão da imagem de T ?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: \mathbf{R}^{3}\longrightarrow\mathbf{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(x+y-z,\;x+y+z).
As perguntas são:
  • (a) Encontrar o núcleo \ker(T) e a imagem \operatorname{Im}(T).
  • (b) Determinar a matriz [T]_{\alpha}^{\alpha'} onde \alpha e \alpha' são as bases canônicas de \mathbf{R}^{3} e \mathbf{R}^{2}.
  • (c) Determinar as dimensões de \ker(T) e de \operatorname{Im}(T).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Regra explícita de T: primeira componente x+y-z, segunda componente x+y+z.
  • Espaços envolvidos: domínio \mathbf{R}^{3} e contradomínio \mathbf{R}^{2}.
    A partir daqui vamos calcular cada coisa pedida.

Passo 2

Encontrar o núcleo: por definição \ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}\mid T(x,y,z)=(0,0)\}\). Então devemos resolver o sistema \[\begin{cases} x+y-z=0,\\[4pt] x+y+z=0. \end{cases}
Explicando o método: somando as duas equações obtemos uma equação mais simples; subtraindo também dá outra informação. Vamos fazer isso.
Somando as duas equações:
(x+y-z)+(x+y+z)=0+0 \quad\Rightarrow\quad 2(x+y)=0.
Logo
x+y=0.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x+y-z)-(x+y+z)=0-0 \quad\Rightarrow\quad -2z=0.
Logo
z=0.
Como x+y=0\] e \(z=0, temos x=-y e z=0. Podemos parametrizar usando um parâmetro t para x: tomar x=t então y=-t e z=0.]

Passo 3

Expressão final do núcleo em forma de subespaço e base:
\ker(T)=\{(t,-t,0)\mid t\in\mathbf{R}\}.
Isto é um subespaço unidimensional gerado pelo vetor (1,-1,0), ou seja
\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,0)\}.
Comentário didático: resolver o sistema linear é a forma padrão de achar o núcleo; aqui deu uma única liberdade t, por isso a dimensão do núcleo será 1 (detalhes sobre dimensões mais adiante).

Passo 4

Encontrar a imagem: por definição [\operatorname{Im}(T)={T(v)\mid v\in\mathbf{R}^{3}}). Uma forma prática é calcular as imagens dos vetores da base canônica de \mathbf{R}^{3} e tomar o subespaço gerado por esses vetores (colunas da matriz de T na base canônica).
Calculemos:
T(1,0,0)=(1+0-0,\;1+0+0)=(1,1),
T(0,1,0)=(0+1-0,\;0+1+0)=(1,1),
T(0,0,1)=(0+0-1,\;0+0+1)=(-1,1).
Portanto
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,1),\;(-1,1)\}.
Agora precisamos verificar se esses vetores geram todo \mathbf{R}^{2} ou apenas um subespaço próprio. Para checar independência linear do par (1,1) e (-1,1), suponha que existam escalares a,b tais que
a(1,1)+b(-1,1)=(0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a-b=0,\\[4pt] a+b=0. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos 2a=0\Rightarrow a=0\]. Então \(b=0. Apenas a solução trivial aparece, logo os dois vetores são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em \mathbf{R}^{2}, eles formam uma base de \mathbf{R}^{2} e, portanto,
\operatorname{Im}(T)=\mathbf{R}^{2}.
Comentário didático: coluna da matriz correspondem às imagens dos vetores da base do domínio; a independência dessas colunas dá o posto (rank) da transformação.]

Passo 5

Matriz de T nas bases canônicas: a matriz tem como colunas as imagens dos vetores canônicos expressas nas coordenadas da base canônica do contradomínio. Já calculamos essas imagens:
T(1,0,0)=(1,1),\quad T(0,1,0)=(1,1),\quad T(0,0,1)=(-1,1).
Então a matriz 2\times3 é
[T]_{\alpha}^{\alpha'}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Explicando: a primeira coluna corresponde a T(e_1), a segunda a T(e_2) e a terceira a T(e_3).]

Passo 6

Dimensões: já vimos que \ker(T) é gerado por um vetor não-nulo, logo
\dim\ker(T)=1.
Vimos também que \operatorname{Im}(T)=\mathbf{R}^{2}, portanto
\dim\operatorname{Im}(T)=2.
Verificação com o Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity): para uma transformação linear T:\mathbf{R}^{3}\to\mathbf{R}^{2} vale
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=\dim(\mathbf{R}^{3})=3.
De fato 1+2=3, coerente.

Resposta

\ker(T)=\{(t,-t,0)\mid t\in\mathbf{R}\}=\operatorname{span}\{(1,-1,0)\}
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,1),(-1,1)\}=\mathbf{R}^{2}
[T]_{\alpha}^{\alpha'}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\[4pt]1 & 1 & 1\end{pmatrix}
\dim\ker(T)=1
\dim\operatorname{Im}(T)=2]

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