Questāo 3: ( 7 pts) Dada a tranformação
dada por
a) (3) Encontre o núcleo e a imagem de
.
b) (2 pts) Encontre a matriz
onde
e
são as bases canônicas de
e
respectivamente.
c) (2 pt ) Qual a dimensão do núcleo e qual a dimensão da imagem de
?
b) (2 pts) Encontre a matriz
c) (2 pt ) Qual a dimensão do núcleo e qual a dimensão da imagem de
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
As perguntas são:
- (a) Encontrar o núcleo
e a imagem . - (b) Determinar a matriz
onde e são as bases canônicas de e . - (c) Determinar as dimensões de
e de .
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Regra explícita de
: primeira componente , segunda componente . - Espaços envolvidos: domínio
e contradomínio .
A partir daqui vamos calcular cada coisa pedida.
Passo 2
Encontrar o núcleo: por definição
Explicando o método: somando as duas equações obtemos uma equação mais simples; subtraindo também dá outra informação. Vamos fazer isso.
Somando as duas equações:
Logo
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Logo
Como
, temos
e
. Podemos parametrizar usando um parâmetro
para
: tomar
então
e
.]
Passo 3
Expressão final do núcleo em forma de subespaço e base:
Isto é um subespaço unidimensional gerado pelo vetor
, ou seja
Comentário didático: resolver o sistema linear é a forma padrão de achar o núcleo; aqui deu uma única liberdade
, por isso a dimensão do núcleo será
(detalhes sobre dimensões mais adiante).
Passo 4
Encontrar a imagem: por definição [\operatorname{Im}(T)={T(v)\mid v\in\mathbf{R}^{3}}). Uma forma prática é calcular as imagens dos vetores da base canônica de
e tomar o subespaço gerado por esses vetores (colunas da matriz de
na base canônica).
Calculemos:
Portanto
Agora precisamos verificar se esses vetores geram todo
ou apenas um subespaço próprio. Para checar independência linear do par
e
, suponha que existam escalares
tais que
Isso dá o sistema
Somando as duas equações obtemos
. Apenas a solução trivial aparece, logo os dois vetores são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em
, eles formam uma base de
e, portanto,
Comentário didático: coluna da matriz correspondem às imagens dos vetores da base do domínio; a independência dessas colunas dá o posto (rank) da transformação.]
Passo 5
Matriz de
nas bases canônicas: a matriz tem como colunas as imagens dos vetores canônicos expressas nas coordenadas da base canônica do contradomínio. Já calculamos essas imagens:
Então a matriz
é
Explicando: a primeira coluna corresponde a
, a segunda a
e a terceira a
.]
Passo 6
Dimensões: já vimos que
é gerado por um vetor não-nulo, logo
Vimos também que
, portanto
Verificação com o Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity): para uma transformação linear
vale
De fato
, coerente.