Dadas as bases β=\{(1,0),(0,1)\}, β^{\prime}=\{(1,1),(2,1)\}\, e \(β^{\prime \prime}=\{(-1,2),(3,-1)\}\, determine as matrizes de mudança de base. (2 pts) \[I\]_{β^{\prime}}^{β}

Passo 1

O enunciado nos dá três bases do espaço \mathbb{R}^2:
  • \beta=\{(1,0),(0,1)\}.
  • \beta'=\{(1,1),(2,1)\}.
  • \beta''=\{(-1,2),(3,-1)\}.
O que a questão pede (a parte que vou resolver aqui) é a matriz de mudança de base
[I]_{\beta'}^{\beta}.
Portanto o objetivo imediato é escrever a matriz que transforma coordenadas de vetor em relação à base \beta' em coordenadas do mesmo vetor em relação à base \beta.

Passo 2

O que significa [I]_{\beta'}^{\beta}? Explicando devagar e com calma:
  • Considere a aplicação identidade I\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por I(v)=v.
  • A notação [I]_{\beta'}^{\beta} indica a matriz de I quando a base do domínio é \beta' e a base do contradomínio é \beta.
  • Regra prática e importantíssima: as colunas dessa matriz são as coordenadas, em relação à base \beta (contradomínio), dos vetores que formam a base \beta' (domínio), tomadas na mesma ordem. Em outras palavras, para cada vetor u em \beta' — escrevendo u em coordenadas da base \beta — essa coluna é colocada na matriz.
Vou explicar por que essa regra vale, de forma simples: se um vetor v tem coordenadas [v]_{\beta'} na base \beta', escrever v como combinação linear dos vetores de \beta' e então expressar cada vetor de \beta' em coordenadas \beta dá uma multiplicação matricial que converte [v]_{\beta'} em [v]_{\beta}. Por isso as colunas são exatamente as coordenadas dos vetores de \beta' em \beta.

Passo 3

Agora aplico a regra prática ao caso concreto. A base \beta é a base canônica (padrão) do \mathbb{R}^2, ou seja,
  • coordenadas de (1,0) em \beta são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},
  • coordenadas de (0,1) em \beta são \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Como consequência, a coordenada de qualquer vetor (a,b) em relação a \beta é simplesmente \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} — porque \beta é a base padrão.

Passo 4

Pegamos os vetores da base \beta':
  • primeiro vetor de \beta' é (1,1). As coordenadas de (1,1) em relação à base \beta são \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} (peguei esse dado diretamente do enunciado).
  • segundo vetor de \beta' é (2,1). As coordenadas de (2,1) em relação à base \beta são \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} (também peguei do enunciado).
Colocando essas coordenadas como colunas, na ordem dada pela \beta', obtemos a matriz de mudança de base:
[I]_{\beta'}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 2\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.
Como verificação rápida: o determinante dessa matriz é \det=1\cdot1-2\cdot1=-1\neq0, então a matriz é invertível — o que é esperado, pois mudança de base entre duas bases válidas deve ser invertível.]

Resposta

[I]_{\beta'}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}

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