Dadas as bases
Passo 1
O enunciado nos dá três bases do espaço
:
-
. -
. -
.
O que a questão pede (a parte que vou resolver aqui) é a matriz de mudança de base
Portanto o objetivo imediato é escrever a matriz que transforma coordenadas de vetor em relação à base
em coordenadas do mesmo vetor em relação à base
.
Passo 2
O que significa
? Explicando devagar e com calma:
- Considere a aplicação identidade
dada por . - A notação
indica a matriz de quando a base do domínio é e a base do contradomínio é . - Regra prática e importantíssima: as colunas dessa matriz são as coordenadas, em relação à base
(contradomínio), dos vetores que formam a base (domínio), tomadas na mesma ordem. Em outras palavras, para cada vetor em — escrevendo em coordenadas da base — essa coluna é colocada na matriz.
Vou explicar por que essa regra vale, de forma simples: se um vetor
tem coordenadas
na base
, escrever
como combinação linear dos vetores de
e então expressar cada vetor de
em coordenadas
dá uma multiplicação matricial que converte
em
. Por isso as colunas são exatamente as coordenadas dos vetores de
em
.
Passo 3
Agora aplico a regra prática ao caso concreto. A base
é a base canônica (padrão) do
, ou seja,
- coordenadas de
em são , - coordenadas de
em são .
Como consequência, a coordenada de qualquer vetor
em relação a
é simplesmente
— porque
é a base padrão.
Passo 4
Pegamos os vetores da base
:
- primeiro vetor de
é . As coordenadas de em relação à base são (peguei esse dado diretamente do enunciado). - segundo vetor de
é . As coordenadas de em relação à base são (também peguei do enunciado).
Colocando essas coordenadas como colunas, na ordem dada pela
, obtemos a matriz de mudança de base:
Como verificação rápida: o determinante dessa matriz é
, então a matriz é invertível — o que é esperado, pois mudança de base entre duas bases válidas deve ser invertível.]