Dadas as bases β=\{(1,0),(0,1)\}, β^{\prime}=\{(1,1),(2,1)\}\, e \(β^{\prime \prime}=\{(-1,2),(3,-1)\}\, determine as matrizes de mudança de base. \left(2\right. pts) Seja o vetor \[v]=\left[\begin{array}{c}2 \\ -3\end{array}\right] na base canônica. Determine \[v]_{β^{\prime}} e \[v]_{β^{\prime \prime}}.\]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes bases do espaço \mathbb{R}^2 (estou pegando os vetores diretamente do enunciado):
  • β=\{(1,0),(0,1)\} (base canônica).
  • β'=\{(1,1),(2,1)\}.
  • β''=\{(-1,2),(3,-1)\}.
As perguntas são:
  1. Determinar as matrizes de mudança de base (isto é, as matrizes que convertem coordenadas entre a base canônica β e as bases β' e β'').
  2. Dado o vetor \[v]=\begin{pmatrix}2\\\ -3\end{pmatrix} escrito em coordenadas da base canônica β, determinar \[v]_{β'} e \[v]_{β''}.]

Passo 2

Conceito e método prático (passo a passo do que vamos usar).
  • Se B=\{b_1,b_2\} é uma base qualquer e escrevemos os vetores b_1,b_2 em coordenadas da base canônica, então a matriz cujas colunas são esses vetores,
S_B=\begin{pmatrix} | & | \\\ b_1 & b_2 \\\ | & | \end{pmatrix},
é a matriz que transforma coordenadas de B para a base canônica (ou seja, \[x]_β = S_B \,[x]_B, se [x]_B são coordenadas em B e [x]_β em canônica).
  • Para obter as coordenadas de um vetor dado na base canônica em relação a B, aplicamos a inversa:
[x]_B = S_B^{-1}\,[x]_{\text{canônica}}.ô
Portanto a matriz de mudança de base da canônica para B é S_B^{-1}, e a matriz de mudança de B para a canônica é S_B.]

Passo 3

Aplicando ao caso de β'.
  • Formo a matriz cujas colunas são os vetores de β' escritos na base canônica:
S_{β'}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
  • Calculo o determinante:
\det(S_{β'}) = 1\cdot1 - 2\cdot1 = -1.
  • A inversa S_{β'}^{-1} (fórmula para matriz 2\times2) é
S_{β'}^{-1}=\frac{1}{\det(S_{β'})}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
  • Interpretação: \displaystyle P_{\text{can} \to β'}=S_{β'}^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} converte coordenadas da base canônica para coordenadas em β'. E \displaystyle P_{β' \to \text{can}}=S_{β'}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} vai de β' para a canônica.]

Passo 4

Calculo de \[v]_{β'} usando S_{β'}^{-1}.
  • O vetor dado na base canônica é
\[v]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • Multiplico:
\[v]_{β'} = S_{β'}^{-1}\,\[v]_{\text{can}} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • Faço a multiplicação componente a componente:
\text{1ª componente} = -1\cdot2 + 2\cdot(-3) = -2 - 6 = -8,ª
\text{2ª componente} = 1\cdot2 + (-1)\cdot(-3) = 2 + 3 = 5.ª
  • Logo
\[v]_{β'}=\begin{pmatrix}-8\\[4pt]5\end{pmatrix}.
(Faça mentalmente: conferir reconstruindo -8(1,1)+5(2,1) = (2,-3).)]

Passo 5

Aplicando o mesmo procedimento a β''.
  • Formo a matriz com colunas iguais aos vetores de β'' escritos na base canônica:
S_{β''}=\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}.
  • Calculo o determinante:
\det(S_{β''}) = (-1)\cdot(-1) - 3\cdot2 = 1 - 6 = -5.
  • A inversa é
S_{β''}^{-1}=\frac{1}{\det(S_{β''})}\begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/5 & 3/5\\[4pt]2/5 & 1/5\end{pmatrix}.
  • Interpretação: \displaystyle P_{\text{can}\to β''}=S_{β''}^{-1}=\begin{pmatrix}1/5 & 3/5\\[4pt]2/5 & 1/5\end{pmatrix} e \displaystyle P_{β''\to\text{can}}=S_{β''}=\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculo de \[v]_{β''}.
  • Multiplico:
\[v]_{β''}=S_{β''}^{-1}\,\[v]_{\text{can}} = \begin{pmatrix}1/5 & 3/5\\[4pt]2/5 & 1/5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • Componentes:
\text{1ª componente} = \frac{1}{5}\cdot2 + \frac{3}{5}\cdot(-3) = \frac{2 - 9}{5} = -\frac{7}{5},ª
\text{2ª componente} = \frac{2}{5}\cdot2 + \frac{1}{5}\cdot(-3) = \frac{4 - 3}{5} = \frac{1}{5}.ª
  • Logo
\[v]_{β''}=\begin{pmatrix}-\dfrac{7}{5}\\[6pt]\dfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
(Confere pela reconstrução: -\tfrac{7}{5}(-1,2)+\tfrac{1}{5}(3,-1)=(2,-3).)]

Resposta

Matriz da canônica para β': \displaystyle \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}
Matriz de β' para a canônica: \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}
Matriz da canônica para β'': \displaystyle \begin{pmatrix}1/5 & 3/5\\[4pt]2/5 & 1/5\end{pmatrix}
Matriz de β'' para a canônica: \displaystyle \begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}
\displaystyle \[v]_{β'}=\begin{pmatrix}-8\\[4pt]5\end{pmatrix}
\displaystyle \[v]_{β''}=\begin{pmatrix}-\dfrac{7}{5}\\[6pt]\dfrac{1}{5}\end{pmatrix}]

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