Dadas as bases β=\{(1,0),(0,1)\}, β^{\prime}=\{(1,1),(2,1)\}\, e \(β^{\prime \prime}=\{(-1,2),(3,-1)\}\, determine as matrizes de mudança de base.
\left(2\right. pts) Seja o vetor \[v]=\left[\begin{array}{c}2 \\ -3\end{array}\right] na base canônica. Determine \[v]_{β^{\prime}} e \[v]_{β^{\prime \prime}}.\]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes bases do espaço \mathbb{R}^2 (estou pegando os vetores diretamente do enunciado):
β=\{(1,0),(0,1)\} (base canônica).
β'=\{(1,1),(2,1)\}.
β''=\{(-1,2),(3,-1)\}.
As perguntas são:
Determinar as matrizes de mudança de base (isto é, as matrizes que convertem coordenadas entre a base canônica β e as bases β' e β'').
Dado o vetor \[v]=\begin{pmatrix}2\\\ -3\end{pmatrix} escrito em coordenadas da base canônica β, determinar \[v]_{β'} e \[v]_{β''}.]
Passo 2
Conceito e método prático (passo a passo do que vamos usar).
Se B=\{b_1,b_2\} é uma base qualquer e escrevemos os vetores b_1,b_2 em coordenadas da base canônica, então a matriz cujas colunas são esses vetores,
Interpretação: \displaystyle P_{\text{can} \to β'}=S_{β'}^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} converte coordenadas da base canônica para coordenadas em β'. E \displaystyle P_{β' \to \text{can}}=S_{β'}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} vai de β' para a canônica.]