Sejam a reta W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y=0 e x-z=0\right\} e plano W_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 2 x-y+z=0\right\}\, determine: a)(3 pts)Determine a soma direta \(W_{1} \oplus W_{2} e encontre sua base \alpha.
Dica: Para encontrar os geradores de W_{2} faça primeiro y=0 e depois x=0.
b)(4 pts) Determine a matriz de mudança de base da base canônica para a base \alpha.)

Passo 1

O enunciado dá duas subespaços de \mathbb{R}^{3} e pede duas coisas:
  • Dados:
    • W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\;;\;x+y=0\\ \text{e}\\ x-z=0\}.
    • W_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\;;\;2x-y+z=0\}.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a soma direta W_{1}\oplus W_{2} e encontrar uma base \alpha dessa soma.
    • (b) Determinar a matriz de mudança de base "da base canônica para a base \alpha".
      Observação: o enunciado deu a dica de gerar W_{2} fazendo primeiro y=0 e depois x=0. A resolução começará a partir dessas informações.

Passo 2

Parametrizar W_{1}. Vou resolver as equações que definem W_{1}:
x+y=0,\qquad x-z=0.
Da segunda equação vem z=x. Da primeira vem y=-x. Tomando x=t obtemos
(x,y,z)=(t,-t,t)=t(1,-1,1).
Portanto W_{1}=\operatorname{span}\{(1,-1,1)\}. Isto significa que W_{1} é uma reta gerada pelo vetor v_{1}=(1,-1,1).

Passo 3

Parametrizar W_{2} seguindo a dica. A equação é
2x-y+z=0.
  • Se y=0 então 2x+z=0, logo z=-2x. Tomando x=1 obtemos o gerador v_{2}=(1,0,-2).
  • Se x=0 então -y+z=0, logo z=y. Tomando y=1 obtemos o gerador v_{3}=(0,1,1).
Assim
W_{2}=\operatorname{span}\{v_{2},v_{3}\}=\operatorname{span}\{(1,0,-2),(0,1,1)\}.
Esses dois vetores são linearmente independentes (são claramente não múltiplos um do outro), portanto geram um plano de dimensão 2.

Passo 4

Lembrando a definição de soma direta: W_{1}\oplus W_{2} é a soma W_{1}+W_{2} quando W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Vou verificar a interseção.
Se um vetor comum tem a forma de W_{1} então é (t,-t,t). Para pertencer a W_{2} precisa satisfazer 2x-y+z=0. Substituindo:
2t - (-t) + t = 4t.
Portanto 4t=0 implica t=0. Isso mostra W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Conclusão: a soma é direta.
Além disso \dim W_{1}=1 e \dim W_{2}=2, logo \dim(W_{1}+W_{2})=1+2=3. Em \mathbb{R}^{3} isso implica W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}. Logo
W_{1}\oplus W_{2}=\mathbb{R}^{3}.

Passo 5

Construir uma base \alpha de W_{1}\oplus W_{2}. Como a interseção é nula e as dimensões somam 3, a união dos geradores é uma base de \mathbb{R}^{3}. Tomando a ordem
v_{1}=(1,-1,1),\qquad v_{2}=(1,0,-2),\qquad v_{3}=(0,1,1),
temos que \alpha=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é uma base de W_{1}\oplus W_{2}=\mathbb{R}^{3}.
Vou verificar rapidamente que esses vetores são linearmente independentes: como já sabemos que geram um subespaço de dimensão 3, e há 3 vetores, eles formam base (ou alternativamente resolver a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}=0 e ver que a=b=c=0). Portanto \alpha é uma base válida.

Passo 6

Interpretação da parte (b) e método escolhido. A frase "matriz de mudança de base da base canônica para a base \alpha" interpretarei como a matriz P_{\alpha\leftarrow E} que transforma coordenadas em relação à base canônica E nas coordenadas em relação à base \alpha. Ou seja, para um vetor v,
[v]_{\alpha}=P_{\alpha\leftarrow E}\,[v]_{E}.
Para obter P_{\alpha\leftarrow E} uso a relação padrão: montar a matriz M cujas colunas são os vetores de \alpha escritos na base canônica; essa matriz satisfaz
[v]_{E}=M\,[v]_{\alpha}.
Logo
P_{\alpha\leftarrow E}=M^{-1}.
(Escolhi essa interpretação porque é a forma habitual de dizer "da base canônica para a base \alpha" — transforma coordenadas na canônica em coordenadas na nova base. Se a intenção fosse a matriz inversa, basta inverter o resultado.)

Passo 7

Montar M e calcular sua inversa. A matriz M cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3} é
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Vou calcular M^{-1} passo a passo. Primeiro o determinante:
expandindo pela primeira linha,
\det M=1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ -2&1\end{pmatrix}-1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}+0\cdot\cdots
\det M=1(0\cdot1-1\cdot(-2))-1((-1)\cdot1-1\cdot1)=1(2)-1(-2)=2+2=4.
Como \det M=4\neq0, M é invertível.
Agora calculo a matriz dos cofatores C (cada entrada é (-1)^{i+j} vezes o menor correspondente). Os cofatores são, em ordem:
C=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\[3pt] -1 & 1 & 3\\[3pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(M)=C^{T}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[3pt] 2 & 1 & -1\\[3pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Portanto
M^{-1}=\frac{1}{\det M}\operatorname{adj}(M)=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[3pt] 2 & 1 & -1\\[3pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Interpretação final: a matriz P_{\alpha\leftarrow E}=M^{-1} fornece, para qualquer vetor v dado em coordenadas canônicas [v]_{E}, suas coordenadas [v]_{\alpha} na base \alpha por
[v]_{\alpha}=M^{-1}[v]_{E}.

Resposta

W_{1}\oplus W_{2}=\mathbb{R}^{3}. Uma base possível é \displaystyle \alpha=\{(1,-1,1),\\ (1,0,-2),\\ (0,1,1)\}.
\text{Matriz de mudança de base (da base canônica para \(\alpha\)) }= \;P_{\alpha\leftarrow E}=M^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.çô]

Exercícios relacionados