Dadas duas funções f(t) e g(t), a equação integral
y(t)+integral0^t f(t-tau) y(tau) d tau=g(t)
é chamada equação integral de Volterra e pode ser resolvida utilizando a transformada de Laplace.
Mostre que Y(s)=G(s)1+F(s) onde F=L(f), G=L(g) e Y=L(y).

Passo 1

O enunciado apresenta a equação integral de Volterra
y(t)+∫₀ᵗ f(t–τ)y(τ)dτ=g(t) e pede para mostrar que, ao aplicar transformada de Laplace, a solução em domínio s satisfaz Y(s)=G(s)/(1+F(s)). Vamos usar conceito de transformada de Laplace, linearidade e teorema da convolução.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
y(t)+integral0^tf(t-tau),y(tau),dtau = g(t)
e, usando linearidade,
Ly(t) + Llintegral0^tf(t-tau),y(tau),dtaur = Lg(t)

Passo 3

Pelo teorema da convolução, a integral é convolução de f e y, então
Ly(t)=Y(s),
Lintegral0^tf(t-tau)y(tau)dtau=F(s),Y(s)
e Lg(t)=G(s).

Passo 4

Substituindo essas expressões, obtemos
Y(s)+F(s),Y(s)=G(s)
o que pode ser reescrito como
Y(s),(1+F(s))=G(s)

Passo 5

Por fim, basta isolar Y(s) dividindo ambos os lados por 1+F(s).

Resposta

Y(s)=G(s)1+F(s)

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