Dadas duas funções
e
, a equação integral
é chamada equação integral de Volterra e pode ser resolvida utilizando a transformada de Laplace.
Mostre que
onde
e
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado apresenta a equação integral de Volterra
y(t)+∫₀ᵗ f(t–τ)y(τ)dτ=g(t) e pede para mostrar que, ao aplicar transformada de Laplace, a solução em domínio s satisfaz Y(s)=G(s)/(1+F(s)). Vamos usar conceito de transformada de Laplace, linearidade e teorema da convolução.
y(t)+∫₀ᵗ f(t–τ)y(τ)dτ=g(t) e pede para mostrar que, ao aplicar transformada de Laplace, a solução em domínio s satisfaz Y(s)=G(s)/(1+F(s)). Vamos usar conceito de transformada de Laplace, linearidade e teorema da convolução.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
e, usando linearidade,
Passo 3
Pelo teorema da convolução, a integral é convolução de f e y, então
,
e .
e
Passo 4
Substituindo essas expressões, obtemos
o que pode ser reescrito como
Passo 5
Por fim, basta isolar
dividindo ambos os lados por
.