Demonstre a seguinte propriedade da convolução a partir de sua definição:
onde
é a função nula.
Passo 1
A questão pede para demonstrar que a convolução de qualquer função
com a função nula
resulta na função nula, ou seja,
e, pela comutatividade,
. O conteúdo aqui é a definição de convolução de funções e a propriedade da função nula.
Passo 2
Começamos lembrando a definição de convolução de duas funções
e
:
Passo 3
Agora, tomamos
para todo
. Substituindo na definição, temos:
Como
para todo
, o integrando é sempre zero.
Passo 4
Logo, a integral de uma função identicamente zero também é zero para todo
:
Isso mostra que
é a função nula.
Passo 5
Por fim, usando a propriedade comutativa da convolução, isto é,
, concluímos que