Demonstre a seguinte propriedade da convolução a partir de sua definição:
f * 0=0 * f=0 onde 0(t)=0 é a função nula.

Passo 1

A questão pede para demonstrar que a convolução de qualquer função f com a função nula 0(t)=0 resulta na função nula, ou seja, f * 0=0 e, pela comutatividade, 0 * f=0. O conteúdo aqui é a definição de convolução de funções e a propriedade da função nula.

Passo 2

Começamos lembrando a definição de convolução de duas funções f e g:
(f * g)(t) = integral-infty^+infty f(tau),g(t - tau),dtau

Passo 3

Agora, tomamos g(t)=0(t)=0 para todo t. Substituindo na definição, temos:
(f * 0)(t) = integral-infty^+infty f(tau),0(t - tau),dtau
Como 0(t-tau)=0 para todo t,tau, o integrando é sempre zero.

Passo 4

Logo, a integral de uma função identicamente zero também é zero para todo t:
(f * 0)(t) = integral-infty^+infty 0,dtau = 0
Isso mostra que f * 0 é a função nula.

Passo 5

Por fim, usando a propriedade comutativa da convolução, isto é, f * g = g * f, concluímos que
0 * f = f * 0 = 0

Resposta

f * 0 = 0 * f = 0

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