1. Determine se a função f(x, y)=ll4 x^3+5 y^3+x^2+y^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) b, & se (x, y)=(0,0) é contínua na origem para algum valor de b in R. Justifique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de b e uma relação entre varepsilon e de, se for o caso.

Passo 1

O enunciado pede verificar se a função
f(x,y)= 4x^3+5y^3+x^2+y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) b,&(x,y)=(0,0)
é contínua na origem. O conteúdo que vamos usar é limite em várias variáveis e argumento varepsilon- de.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) separamos a fração em três termos:
f(x,y)=4x^3x^2+y^2+5y^3x^2+y^2+x^2+y^2x^2+y^2 =4x^3x^2+y^2+5y^3x^2+y^2+1
Assim vemos claramente um termo constante 1 e dois termos que podem ser controlados.

Passo 3

Para avaliar o limite, usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com r=raizx^2+y^2. Então
4x^3x^2+y^2=4rcos^3theta, 5y^3x^2+y^2=5rsin^3theta,
e a função fica
f(r,theta)=1+rl(4cos^3theta+5sin^3thetar)

Passo 4

Como rto0 (isto é, (x,y)to(0,0)), o termo r(4cos^3theta+5sin^3theta) tende a zero independentemente de theta. Logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1

Passo 5

Para a função ser contínua na origem, precisamos que b, valor de f(0,0), seja igual a esse limite. Concluímos que
b=1

Passo 6

Agora, para dar um argumento varepsilon- de, note que
|f(x,y)-1|=l|r(4cos^3theta+5sin^3theta)r| <= rl(4|cos^3theta|+5|sin^3theta|r) <=9r =9raizx^2+y^2
Para garantir |f(x,y)-1|, basta pedir
9raizx^2+y^2
Assim podemos escolher de.

Resposta

A função é contínua na origem se e somente se b=1, e basta tomar δ=ε/9 para o argumento ε-δ.

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