Determine se a função é contínua na origem para algum valor de . Justifique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de e uma relação entre e , se for o caso.
Passo 1
O enunciado pede verificar se a função
é contínua na origem. O conteúdo que vamos usar é limite em várias variáveis e argumento -.
Passo 2
Para separamos a fração em três termos:
Assim vemos claramente um termo constante e dois termos que podem ser controlados.
Passo 3
Para avaliar o limite, usamos coordenadas polares: , , com . Então
e a função fica
Passo 4
Como (isto é, ), o termo tende a zero independentemente de . Logo
Passo 5
Para a função ser contínua na origem, precisamos que , valor de , seja igual a esse limite. Concluímos que
Passo 6
Agora, para dar um argumento -, note que
Para garantir |f(x,y)-1|, basta pedir
9raizx^2+y^2
Assim podemos escolher de.
Resposta
A função é contínua na origem se e somente se b=1, e basta tomar δ=ε/9 para o argumento ε-δ.