Dadas duas funções
e
, a equação integral
é chamada equação integral de Volterra e pode ser resolvida utilizando a transformada de Laplace.
Determine
no caso em que
e
Determine
Passo 1
Vamos resolver uma equação integral de Volterra do tipo convolucional usando transformada de Laplace. Aqui temos as funções f(t)=t e g(t)=
, e a equação integral
O truque é aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma convolução é o produto das transformadas, isto é, se , então
O truque é aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma convolução é o produto das transformadas, isto é, se
e pela propriedade da convolução
Passo 2
Agora vamos calcular as transformadas de f e g. Sabemos que
Passo 3
Substituindo em
fica
Passo 4
Para inverter vamos fazer decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
Passo 5
Multiplicando em cruz e identificando coeficientes de
e termo constante obtemos o sistema
Passo 6
que tem solução
e
. Então
Passo 7
Por fim, aplicamos a transformada inversa sabendo que
e
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