Dadas duas funções f(t) e g(t), a equação integral
y(t)+integral0^t f(t-tau) y(tau) d tau=g(t)
é chamada equação integral de Volterra e pode ser resolvida utilizando a transformada de Laplace.
Determine y(t) no caso em que f(t)=t e g(t)=sin (2 t)

Passo 1

Vamos resolver uma equação integral de Volterra do tipo convolucional usando transformada de Laplace. Aqui temos as funções f(t)=t e g(t)= sin(2t), e a equação integral
O truque é aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma convolução é o produto das transformadas, isto é, se y(t)+integral0^t f(t-tau)y(tau)dtau=g(t), então
Ly(t)+Lf*y=Lg(t)
e pela propriedade da convolução
Y(s)+F(s),Y(s)=G(s)Longrightarrow Y(s)l(1+F(s)r)=G(s)

Passo 2

Agora vamos calcular as transformadas de f e g. Sabemos que
F(s)=Lt=1s^2, G(s)=Lsin(2t)=2s^2+4

Passo 3

Substituindo em Y(s)=G(s)/(1+F(s)) fica
Y(s)=2s^2+41+1s^2=2s^2+4cdots^2s^2+1=2s^2(s^2+4)(s^2+1)

Passo 4

Para inverter vamos fazer decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
2s^2(s^2+1)(s^2+4)=As^2+1+Bs^2+4

Passo 5

Multiplicando em cruz e identificando coeficientes de s^2 e termo constante obtemos o sistema
A+B=2, 4A+B=0

Passo 6

que tem solução A=-tfrac23 e B=tfrac83. Então
Y(s)=-2/3s^2+1+8/3s^2+4

Passo 7

Por fim, aplicamos a transformada inversa sabendo que L^-11/(s^2+1)=sin t e L^-11/(s^2+4)=tfrac12sin(2t). Logo
y(t)=-23sin t+83cdot12sin(2t)=43sin(2t)-23sin t

Resposta

y(t)=43sin(2t)-23sin t

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